Barisan dan Deret

Pola barisan, barisan & deret aritmetika, barisan & deret geometri (serta deret geometri tak hingga), dan penerapannya pada konsep finansial: bunga tunggal dan bunga majemuk.

Tujuan Pembelajaran (10)

M-E.2Menerapkan konsep barisan dan deret aritmetika dalam menyelesaikan masalah yang terkait bunga tunggal.
M-E.2.1Mengidentifikasi masalah sehari-hari yang dapat dimodelkan dengan barisan atau deret aritmetika.
M-E.2.2Menentukan suku ke-n suatu barisan aritmetika.
M-E.2.3Menentukan jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika.
M-E.2.4Menerapkan konsep deret aritmetika pada masalah bunga tunggal.
M-E.3Menerapkan konsep barisan dan deret geometri dalam menyelesaikan masalah yang terkait bunga majemuk.
M-E.3.1Mengidentifikasi masalah sehari-hari yang dapat dimodelkan dengan barisan atau deret geometri.
M-E.3.2Menentukan suku ke-n suatu barisan geometri.
M-E.3.3Menentukan jumlah n suku pertama deret geometri (termasuk pengantar deret geometri tak hingga konvergen).
M-E.3.4Menerapkan konsep deret geometri pada masalah bunga majemuk dan pertumbuhan/peluruhan periodik.

Barisan dan Deret

Barisan dan deret membantu kita membaca pola bilangan yang berubah secara teratur. Jika yang diperhatikan adalah daftar suku, kita sedang membahas barisan. Jika yang diperhatikan adalah jumlah beberapa suku, kita sedang membahas deret.

Contoh barisan:

4,\ 7,\ 10,\ 13,\ 16,\ldots

Barisan di atas bertambah 3 setiap langkah, sehingga termasuk barisan aritmetika. Jika suku-sukunya dijumlahkan, misalnya:

4+7+10+13+16

maka bentuk itu disebut deret aritmetika.

Ilustrasi pola barisan dan deret

Gambar: pola yang bertambah teratur dapat dibaca sebagai barisan, sedangkan total beberapa tahapnya dibaca sebagai deret.

Di kelas X, bab ini berfokus pada dua jenis pola utama:

aritmetika, yaitu pola dengan beda tetap;
geometri, yaitu pola dengan rasio tetap.

Kedua pola ini juga muncul dalam konteks keuangan. Bunga tunggal lebih dekat dengan pola aritmetika karena pertambahannya tetap. Bunga majemuk lebih dekat dengan pola geometri karena nilai baru dihitung dari nilai periode sebelumnya.

Pada bab ini, kamu akan belajar:

mengenali barisan dan deret dari pola sehari-hari;
menentukan suku ke- $n$ barisan aritmetika;
menentukan jumlah $n$ suku pertama deret aritmetika;
menggunakan barisan dan deret aritmetika pada bunga tunggal;
menentukan suku ke- $n$ barisan geometri;
menentukan jumlah $n$ suku pertama deret geometri;
mengenal deret geometri tak hingga yang konvergen;
menggunakan barisan dan deret geometri pada bunga majemuk.

Gunakan tab Teori untuk membangun konsep, tab Soal untuk latihan bertahap, dan tab Jawaban untuk mengecek pembahasan.

Teori - Barisan dan Deret

Bab ini dapat dibaca sebagai alur dari pola suku, jumlah suku, lalu penerapan pada situasi finansial sederhana.

Peta konsep barisan dan deret

Gambar: bab barisan dan deret menghubungkan pola aritmetika, pola geometri, deret, bunga tunggal, dan bunga majemuk.

1. Barisan, Suku, dan Deret

Barisan adalah susunan bilangan yang memiliki urutan. Setiap bilangan dalam barisan disebut suku.

Jika barisan ditulis:

U_1,\ U_2,\ U_3,\ldots,\ U_n

maka $U_n$ berarti suku ke- $n$ .

Deret adalah penjumlahan suku-suku suatu barisan. Jika $S_n$ menyatakan jumlah $n$ suku pertama, maka:

S_n = U_1 + U_2 + U_3 + \cdots + U_n

Contoh:

3,\ 6,\ 9,\ 12,\ldots

adalah barisan. Bentuk:

3+6+9+12+\cdots

adalah deret.

2. Barisan Aritmetika

Barisan aritmetika memiliki beda tetap antar dua suku berurutan.

Jika suku pertama adalah $a$ dan beda adalah $b$ , maka:

U_n = a+(n-1)b

Pola aritmetika dan geometri

Gambar: barisan aritmetika memiliki pertambahan tetap, sedangkan barisan geometri memiliki pengali tetap.

Contoh:

5,\ 9,\ 13,\ 17,\ldots

Suku pertama $a=5$ dan beda $b=4$ , sehingga:

U_n = 5+(n-1)4

Suku ke-20:

U_{20}=5+(20-1)4=5+76=81

3. Deret Aritmetika

Deret aritmetika adalah jumlah suku-suku dari barisan aritmetika.

Jika suku pertama $a$ , beda $b$ , dan suku ke- $n$ adalah $U_n$ , maka:

S_n = \frac{n}{2}(a+U_n)

Karena $U_n=a+(n-1)b$ , rumus lain yang sering dipakai adalah:

S_n = \frac{n}{2}\left(2a+(n-1)b\right)

Rumus barisan dan deret aritmetika

Gambar: beda tetap $b$ menentukan suku ke- $n$ dan jumlah $n$ suku pertama pada pola aritmetika.

Contoh:

Hitung jumlah 15 suku pertama dari barisan:

6,\ 10,\ 14,\ 18,\ldots

Diketahui $a=6$ , $b=4$ , dan $n=15$ .

S_{15}=\frac{15}{2}\left(2(6)+(15-1)4\right)

S_{15}=\frac{15}{2}(12+56)=\frac{15}{2}\cdot 68=510

4. Bunga Tunggal sebagai Pola Aritmetika

Pada bunga tunggal, bunga setiap periode dihitung dari modal awal. Karena bunga per periode tetap, total uang membentuk pola aritmetika.

Jika modal awal $M$ , suku bunga per periode $i$ , dan banyak periode $n$ , maka bunga total:

B = M\cdot i\cdot n

Jumlah akhir:

A = M(1+in)

Contoh:

Modal Rp2.000.000 disimpan dengan bunga tunggal 2% per bulan selama 6 bulan.

A=2.000.000(1+0{,}02\cdot 6)

A=2.000.000(1{,}12)=2.240.000

5. Barisan Geometri

Barisan geometri memiliki rasio tetap antar dua suku berurutan.

Jika suku pertama adalah $a$ dan rasio adalah $r$ , maka:

U_n = ar^{n-1}

Contoh:

3,\ 6,\ 12,\ 24,\ldots

Suku pertama $a=3$ dan rasio $r=2$ , sehingga:

U_n = 3\cdot 2^{n-1}

Suku ke-8:

U_8 = 3\cdot 2^{7}=384

6. Deret Geometri

Deret geometri adalah jumlah suku-suku dari barisan geometri.

Untuk $r\ne 1$ , jumlah $n$ suku pertama dapat ditulis:

S_n = \frac{a(r^n-1)}{r-1}

atau:

S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}

Kedua bentuk di atas setara. Pilih bentuk yang membuat perhitungan lebih mudah.

Rumus barisan dan deret geometri

Gambar: rasio tetap $r$ menentukan suku ke- $n$ dan jumlah $n$ suku pertama pada pola geometri.

Contoh:

Hitung jumlah 6 suku pertama dari deret:

4+8+16+32+\cdots

Diketahui $a=4$ , $r=2$ , dan $n=6$ .

S_6=\frac{4(2^6-1)}{2-1}

S_6=4(64-1)=252

7. Deret Geometri Tak Hingga

Deret geometri tak hingga:

a+ar+ar^2+ar^3+\cdots

memiliki jumlah hingga jika:

|r|<1

Jumlahnya:

S_{\infty}=\frac{a}{1-r}

Contoh:

12+6+3+\frac{3}{2}+\cdots

memiliki $a=12$ dan $r=\frac{1}{2}$ , sehingga:

S_{\infty}=\frac{12}{1-\frac{1}{2}}=\frac{12}{\frac{1}{2}}=24

Jika $|r|\ge 1$ , deret geometri tak hingga tidak menuju jumlah tertentu.

8. Bunga Majemuk sebagai Pola Geometri

Pada bunga majemuk, nilai setiap periode dihitung dari nilai periode sebelumnya. Karena itu, nilai akhir membentuk pola geometri.

Jika modal awal $M$ , suku bunga per periode $i$ , dan banyak periode $n$ , maka:

A=M(1+i)^n

Bunga tunggal dan bunga majemuk

Gambar: bunga tunggal bertambah dengan selisih tetap, sedangkan bunga majemuk bertambah dengan faktor pengali.

Contoh:

Modal Rp2.000.000 disimpan dengan bunga majemuk 2% per bulan selama 6 bulan.

A=2.000.000(1+0{,}02)^6

A\approx 2.252.324

Nilai bunga majemuk sedikit lebih besar daripada bunga tunggal karena bunga pada bulan berikutnya ikut dihitung dari bunga yang sudah terbentuk.