Eksponen

Sifat-sifat bilangan berpangkat (eksponen), bentuk akar dan rasionalisasi penyebut, persamaan eksponensial, fungsi eksponensial untuk pertumbuhan & peluruhan, serta kaitan pangkat pecahan dengan akar.

Tujuan Pembelajaran (9)

M-E.1Menggeneralisasi sifat-sifat bilangan berpangkat (termasuk bilangan pangkat pecahan).
M-E.1.1Membedakan bentuk eksponen dan yang bukan eksponen, serta mengidentifikasi situasi sehari-hari yang dapat dimodelkan dengan eksponen.
M-E.1.2Menjelaskan dan membuktikan sifat-sifat bilangan berpangkat bulat (positif, nol, negatif).
M-E.1.3Menggeneralisasi sifat bilangan berpangkat pecahan dan menyatakan kaitannya dengan bentuk akar.
M-E.1.4Menyederhanakan bentuk akar dan merasionalkan penyebut pecahan yang mengandung akar.
M-E.7Menyelesaikan persamaan eksponensial (berbasis/bilangan pokok sama) dan fungsi eksponensial.
M-E.7.1Menggunakan sifat-sifat eksponen untuk menyelesaikan persamaan eksponensial dengan bilangan pokok yang sama.
M-E.7.2Memodelkan situasi pertumbuhan dan peluruhan dengan fungsi eksponensial.
M-E.7.3Menggambar dan menafsirkan grafik fungsi eksponensial pada bidang koordinat Kartesius.

Eksponen

Eksponen adalah bahasa ringkas untuk menyatakan perubahan yang berulang dengan faktor yang sama. Jika suatu jumlah selalu dikali 2, dikali 3, atau dikali $\frac{1}{2}$ pada setiap tahap, pola itu biasanya lebih tepat dibaca dengan eksponen daripada dengan penjumlahan biasa.

Contoh paling sederhana:

2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32

Pada bentuk $a^n$ , bilangan $a$ disebut basis, sedangkan $n$ disebut eksponen atau pangkat.

Peta konsep bab eksponen

Gambar: bab eksponen menghubungkan sifat pangkat, bentuk akar, persamaan eksponensial, dan fungsi eksponensial.

Di kelas X, eksponen tidak berhenti pada perkalian berulang. Kamu akan melihat bagaimana pangkat nol, pangkat negatif, dan pangkat pecahan muncul secara masuk akal dari pola yang sama. Kamu juga akan memakai eksponen untuk memodelkan pertumbuhan dan peluruhan.

Pada bab ini, kamu akan belajar:

membedakan bentuk eksponen dan yang bukan eksponen;
menggunakan sifat-sifat eksponen untuk menyederhanakan bentuk aljabar;
menghubungkan pangkat pecahan dengan bentuk akar;
menyederhanakan bentuk akar dan merasionalkan penyebut;
menyelesaikan persamaan eksponensial dengan basis yang sama;
memodelkan pertumbuhan dan peluruhan dengan fungsi eksponensial;
membaca grafik fungsi eksponensial pada bidang koordinat.

Gunakan tab Teori untuk membangun konsep, tab Soal untuk latihan bertahap, dan tab Jawaban untuk mengecek pembahasan.

Teori - Eksponen

1. Makna Eksponen

Bentuk eksponen ditulis sebagai:

a^n

dengan $a$ sebagai basis dan $n$ sebagai eksponen. Jika $n$ bilangan bulat positif, maka:

a^n = \underbrace{a \times a \times a \times \cdots \times a}_{n\ \text{faktor}}

Contoh:

3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81

Eksponen cocok untuk situasi yang berubah dengan faktor pengali tetap. Jika setiap tahap selalu dikali 2, banyaknya objek pada tahap ke- $n$ dapat ditulis sebagai $2^n$ .

Pertumbuhan eksponensial dari penyebaran pesan

Gambar: jika setiap penerima meneruskan pesan ke 2 orang, jumlah penerima baru membentuk pola $2^n$ .

Perhatikan bahwa pertumbuhan eksponensial berbeda dari pertumbuhan linear. Pada pola linear, pertambahan tiap tahap tetap. Pada pola eksponensial, pengali tiap tahap tetap.

2. Pangkat Nol dan Pangkat Negatif

Sifat pembagian pangkat membantu menjelaskan pangkat nol dan pangkat negatif.

Untuk $a \ne 0$ :

\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}

Jika $m=n$ , maka:

\frac{a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0

Karena $\frac{a^n}{a^n}=1$ , maka:

a^0 = 1,\quad a \ne 0

Untuk pangkat negatif:

a^{-n} = \frac{1}{a^n},\quad a \ne 0

Contoh:

5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}

Pangkat negatif bukan berarti hasilnya selalu negatif. Pangkat negatif menunjukkan kebalikan atau resiprokal.

3. Sifat-sifat Eksponen

Sifat eksponen digunakan untuk menyederhanakan bentuk yang memuat basis dan pangkat.

Peta sifat-sifat eksponen

Gambar: aturan eksponen bergantung pada bentuk operasinya. Basis sama, pangkat dari pangkat, dan pangkat pada hasil kali memiliki aturan berbeda.

Bentuk	Sifat	Syarat penting
Perkalian basis sama	$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$	basis sama
Pembagian basis sama	$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$	$a \ne 0$
Pangkat dari pangkat	$(a^m)^n = a^{mn}$	pangkat dikalikan
Pangkat pada perkalian	$(ab)^n=a^n b^n$	berlaku untuk faktor
Pangkat pada pembagian	$\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$	$b \ne 0$

Contoh:

2^5 \cdot 2^3 = 2^{5+3} = 2^8

\frac{x^7}{x^2} = x^{7-2} = x^5,\quad x \ne 0

(3a^2b^4)^3 = 3^3a^{2\cdot 3}b^{4\cdot 3}=27a^6b^{12}

Jebakan yang sering muncul:

2^3 + 2^4 \ne 2^7

Aturan menjumlahkan eksponen berlaku pada perkalian dengan basis sama, bukan pada penjumlahan bentuk berpangkat.

4. Pangkat Pecahan dan Bentuk Akar

Pangkat pecahan menghubungkan eksponen dengan akar.

Untuk $a>0$ :

a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}

dan:

a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}=(\sqrt[n]{a})^m

Contoh:

16^{\frac{1}{2}}=\sqrt{16}=4

27^{\frac{2}{3}}=(\sqrt[3]{27})^2=3^2=9

Hubungan pangkat pecahan dan akar

Gambar: pangkat $\frac{1}{n}$ berarti akar ke- $n$ , sedangkan pangkat $\frac{m}{n}$ menggabungkan akar dan pangkat.

5. Menyederhanakan Bentuk Akar

Bentuk akar dapat disederhanakan dengan mencari faktor yang merupakan pangkat sempurna.

Contoh:

\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2}

\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\cdot 2}=3\sqrt[3]{2}

Bentuk akar yang sejenis dapat dijumlahkan atau dikurangkan.

4\sqrt{3}+7\sqrt{3}=11\sqrt{3}

Namun:

\sqrt{2}+\sqrt{5}

tidak dapat disederhanakan menjadi $\sqrt{7}$ .

6. Rasionalisasi Penyebut

Rasionalisasi penyebut adalah mengubah bentuk pecahan agar penyebutnya tidak memuat akar. Nilai pecahan tidak berubah karena pembilang dan penyebut dikalikan dengan bentuk yang sama.

Contoh satu suku:

\frac{3}{\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}

Contoh dengan sekawan:

\frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}

Penyebutnya menjadi:

(\sqrt{3}+\sqrt{5})(\sqrt{3}-\sqrt{5})=3-5=-2

sehingga:

\frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}=\sqrt{5}-\sqrt{3}

Rasionalisasi dengan pasangan sekawan

Gambar: pasangan sekawan menghilangkan akar pada penyebut melalui pola $(p+q)(p-q)=p^2-q^2$ .

7. Persamaan Eksponensial Berbasis Sama

Persamaan eksponensial adalah persamaan yang variabelnya berada pada eksponen.

Jika:

a^p=a^q

dengan $a>0$ dan $a\ne 1$ , maka:

p=q

Contoh:

2^{x+3}=2^7

Karena basisnya sama, maka:

x+3=7

x=4

Contoh lain:

9^{x-1}=27

Ubah kedua ruas ke basis 3:

(3^2)^{x-1}=3^3

3^{2x-2}=3^3

Maka:

2x-2=3

x=\frac{5}{2}

8. Fungsi Eksponensial

Fungsi eksponensial dapat ditulis sebagai:

f(x)=n\cdot a^x

dengan $n\ne 0$ , $a>0$ , dan $a\ne 1$ .

Jika $a>1$ , grafik menunjukkan pertumbuhan. Jika $0<a<1$ , grafik menunjukkan peluruhan.

Grafik pertumbuhan dan peluruhan eksponensial

Gambar: basis lebih dari 1 menghasilkan pertumbuhan, sedangkan basis antara 0 dan 1 menghasilkan peluruhan.

Contoh pertumbuhan:

f(x)=500\cdot 2^x

Jika $x$ menyatakan jam dan bakteri membelah dua setiap jam, maka:

f(3)=500\cdot 2^3=4000

Contoh peluruhan:

g(x)=200\left(\frac{1}{2}\right)^x

Jika $x$ menyatakan jam dan jumlah zat tersisa berkurang setengah setiap jam, maka:

g(4)=200\left(\frac{1}{2}\right)^4=12{,}5

Model pertumbuhan dan peluruhan

Gambar: pertumbuhan dan peluruhan sama-sama eksponensial karena perubahan setiap tahap memakai faktor pengali tetap.

Ringkasan

Eksponen menyatakan pola perkalian berulang dan perubahan dengan faktor pengali tetap.
$a^0=1$ dan $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ untuk $a\ne 0$ .
Sifat eksponen harus dipakai sesuai bentuk operasi, terutama saat basis sama.
Pangkat pecahan berhubungan langsung dengan bentuk akar.
Rasionalisasi penyebut menghilangkan akar dari penyebut tanpa mengubah nilai pecahan.
Persamaan eksponensial berbasis sama dapat diselesaikan dengan menyamakan eksponennya.
Fungsi eksponensial memodelkan pertumbuhan dan peluruhan dengan faktor pengali tetap.