Peluang

Ruang sampel & distribusi peluang kejadian, frekuensi relatif vs frekuensi harapan, kejadian saling lepas vs tidak saling lepas, kejadian saling bebas vs tidak saling bebas, serta aturan penjumlahan dan perkalian peluang.

Tujuan Pembelajaran (5)

M-E.13Menjelaskan peluang dan menentukan frekuensi harapan dari kejadian majemuk, serta menyelidiki konsep dari kejadian saling bebas dan saling lepas, dan menentukan peluangnya.
M-E.13.1Menentukan ruang sampel dan distribusi peluang suatu kejadian pada percobaan acak.
M-E.13.2Membedakan frekuensi relatif dan frekuensi harapan, dan menggunakan frekuensi harapan untuk memprediksi peluang.
M-E.13.3Membedakan kejadian saling lepas dan tidak saling lepas, lalu menerapkan aturan penjumlahan untuk menentukan peluangnya.
M-E.13.4Membedakan kejadian saling bebas dan tidak saling bebas, lalu menerapkan aturan perkalian untuk menentukan peluangnya.

Peluang

Saat sebuah dadu dilempar, kita tidak dapat memastikan angka yang akan muncul. Namun, kita dapat mencatat semua hasil yang mungkin dan mengukur seberapa besar kemungkinan suatu kejadian. Inilah gagasan dasar peluang: menghadapi ketidakpastian dengan model yang dapat diperiksa.

Peralatan percobaan peluang dan tabel ruang sampel

Peluang dipakai dalam pengendalian mutu, prakiraan cuaca, survei, permainan, asuransi, dan banyak pengambilan keputusan. Perhitungan yang benar harus dimulai dari ruang sampel yang lengkap dan asumsi yang jelas. Dadu yang dianggap adil, misalnya, berbeda modelnya dari dadu yang berat sebelah.

Sebelum memulai, ingat kembali:

himpunan dan anggotanya;
pecahan, desimal, dan persentase;
perbandingan dan operasi pecahan;
membaca tabel serta diagram sederhana.

Pertanyaan pemantik:

Apakah setiap hasil acak selalu mempunyai peluang yang sama?
Mengapa hasil 10 kali percobaan dapat berbeda dari peluang teoretis?
Apa perbedaan kejadian saling lepas dan saling bebas?
Mengapa pengambilan benda tanpa pengembalian dapat mengubah peluang berikutnya?

Pada bab ini, kamu akan belajar:

menentukan titik sampel, ruang sampel, dan kejadian;
menyusun distribusi peluang sederhana;
membedakan peluang teoretis, frekuensi relatif, dan frekuensi harapan;
menggunakan komplemen untuk menghitung peluang;
menentukan peluang kejadian majemuk dengan aturan penjumlahan;
membedakan kejadian saling lepas dan tidak saling lepas;
membedakan kejadian saling bebas dan tidak saling bebas;
menggunakan aturan perkalian pada kejadian saling bebas;
menilai kewajaran model dan hasil perhitungan peluang.

Gunakan tab Teori untuk mempelajari konsep dan contoh, tab Soal untuk latihan terstruktur, tab Jawaban untuk memeriksa penalaran, serta tab Soal+ untuk mencoba butir interaktif satu per satu.

Teori Peluang

1. Percobaan Acak, Titik Sampel, dan Ruang Sampel

Percobaan acak adalah kegiatan yang hasil pastinya belum diketahui sebelum dilakukan, walaupun semua kemungkinan hasilnya dapat dideskripsikan.

Contoh:

melempar sebuah uang logam;
melempar dua dadu berbeda warna;
mengambil satu bola dari kantong tertutup;
memilih satu siswa secara acak dari suatu kelas.

Setiap hasil tunggal disebut titik sampel. Himpunan semua hasil yang mungkin disebut ruang sampel dan biasanya dilambangkan dengan $S$ .

Untuk satu uang logam dengan sisi angka (A) dan gambar (G):

S = \{A,G\}.

Untuk dua uang logam yang dapat dibedakan:

S = \{AA,AG,GA,GG\}.

Urutan harus diperhatikan. $AG$ berarti uang logam pertama menunjukkan angka dan yang kedua menunjukkan gambar, sedangkan $GA$ menyatakan hasil sebaliknya.

Menyusun ruang sampel

Ruang sampel dapat disajikan dengan:

daftar terurut;
tabel silang;
diagram pohon;
pasangan berurutan.

Untuk dadu biru dan dadu jingga, titik sampel $(2,5)$ berbeda dari $(5,2)$ . Ruang sampelnya memiliki:

n(S)=6\times 6=36

titik sampel.

Periksa kelengkapan: ruang sampel yang kehilangan satu kemungkinan akan membuat semua peluang turunannya salah.

2. Kejadian dan Peluang Teoretis

Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Jika sebuah dadu dilempar, kejadian $A$ = “muncul bilangan genap” adalah:

A=\{2,4,6\}.

Jika semua titik sampel sama mungkin, peluang kejadian $A$ adalah:

P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}.

Karena $n(A)=3$ dan $n(S)=6$ :

P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}.

Nilai peluang selalu memenuhi:

0\leq P(A)\leq 1.

$P(A)=0$ : kejadian mustahil;
$P(A)=1$ : kejadian pasti;
makin dekat ke 1: kejadian makin mungkin.

Rumus $\frac{n(A)}{n(S)}$ hanya boleh digunakan langsung jika hasil-hasil elementernya sama mungkin. Untuk roda putar dengan sektor berbeda luas atau dadu yang tidak seimbang, modelnya perlu disesuaikan dengan informasi peluang tiap hasil.

3. Distribusi Peluang

Distribusi peluang memasangkan setiap nilai hasil dengan peluang terjadinya. Misalkan dua uang logam dilempar dan $X$ menyatakan banyak sisi gambar.

$X$	Hasil yang mendukung	$P(X)$
0	$AA$	$\frac{1}{4}$
1	$AG,GA$	$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
2	$GG$	$\frac{1}{4}$

Distribusi peluang yang sah memenuhi dua syarat:

setiap peluang berada antara 0 dan 1;
jumlah semua peluang sama dengan 1.

Pada contoh tersebut:

\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=1.

Ruang sampel memuat hasil elementer, sedangkan distribusi peluang dapat menggabungkan beberapa hasil elementer yang menghasilkan nilai numerik yang sama.

4. Komplemen Suatu Kejadian

Komplemen $A$ , ditulis $A^c$ , adalah kejadian “ $A$ tidak terjadi”. Karena $A$ dan $A^c$ mencakup seluruh ruang sampel tanpa tumpang tindih:

P(A^c)=1-P(A).

Contoh: peluang sebuah produk lolos pemeriksaan adalah $0{,}94$ . Peluang produk tidak lolos adalah:

1-0{,}94=0{,}06.

Komplemen sangat berguna untuk pertanyaan “sedikitnya satu”. Peluang sedikitnya satu gambar dalam dua lemparan uang logam lebih cepat dihitung melalui kejadian lawannya, yaitu tidak ada gambar:

P(\text{sedikitnya satu G})=1-P(AA)=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}.

5. Peluang Eksperimental dan Frekuensi Relatif

Peluang teoretis berasal dari model. Peluang eksperimental diperoleh dari hasil percobaan dan dinyatakan dengan frekuensi relatif:

\text{frekuensi relatif kejadian }A =\frac{\text{banyak kemunculan }A}{\text{banyak percobaan}}.

Jika angka 6 muncul 18 kali dalam 100 lemparan dadu, frekuensi relatifnya:

\frac{18}{100}=0{,}18.

Nilai ini tidak harus tepat sama dengan peluang teoretis $\frac{1}{6}$ . Ketika percobaan diulang sangat banyak dalam kondisi yang sama, frekuensi relatif cenderung mendekati peluang teoretis. Kecenderungan ini tidak menjamin hasil jangka pendek.

Frekuensi harapan

Jika sebuah kejadian mempunyai peluang $P(A)$ dan percobaan dilakukan $N$ kali, frekuensi harapannya:

F_h=N\times P(A).

Contoh: peluang lampu lolos pemeriksaan adalah $0{,}96$ . Dari 2.500 lampu, frekuensi harapan lampu yang lolos:

F_h=2.500\times 0{,}96=2.400.

Frekuensi harapan adalah perkiraan jumlah dalam pengulangan, bukan jaminan hasil aktual. Jika perhitungan menghasilkan bilangan tidak bulat, jelaskan cara pembulatan sesuai konteks.

6. Kejadian Majemuk: “dan” serta “atau”

Kejadian majemuk menggabungkan dua atau lebih kejadian.

$A\cap B$ berarti $A$ dan $B$ terjadi;
$A\cup B$ berarti $A$ atau $B$ terjadi, termasuk kemungkinan keduanya.

Kata sehari-hari harus diterjemahkan dengan hati-hati. Dalam matematika, “ $A$ atau $B$ ” biasanya bersifat inklusif: $A$ , $B$ , atau keduanya.

7. Kejadian Saling Lepas dan Aturan Penjumlahan

Dua kejadian saling lepas jika tidak dapat terjadi pada hasil yang sama. Artinya:

A\cap B=\varnothing

dan

P(A\cap B)=0.

Perbandingan kejadian saling lepas dan kejadian yang beririsan

Pada panel kiri, dua daerah tidak beririsan sehingga kejadian saling lepas. Panel kanan menunjukkan irisan: ada hasil yang memenuhi kedua kejadian.

Aturan penjumlahan umum

Untuk sembarang dua kejadian:

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).

Irisan dikurangi karena telah terhitung dua kali ketika $P(A)$ dan $P(B)$ dijumlahkan.

Jika $A$ dan $B$ saling lepas, $P(A\cap B)=0$ , sehingga:

P(A\cup B)=P(A)+P(B).

Contoh saling lepas

Sebuah dadu dilempar. Misalkan $A$ = “muncul 1” dan $B$ = “muncul 6”. Kedua kejadian tidak dapat terjadi bersamaan.

P(A\cup B)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}.

Contoh tidak saling lepas

Dari bilangan 1 sampai 10 dipilih satu bilangan secara acak. Misalkan:

A=\{2,4,6,8,10\}

adalah kejadian terpilih bilangan genap dan

B=\{6,7,8,9,10\}

adalah kejadian terpilih bilangan lebih dari 5. Irisannya $A\cap B=\{6,8,10\}$ . Maka:

P(A\cup B)=\frac{5}{10}+\frac{5}{10}-\frac{3}{10}=\frac{7}{10}.

8. Kejadian Saling Bebas dan Aturan Perkalian

Dua kejadian saling bebas jika terjadinya satu kejadian tidak mengubah peluang kejadian yang lain.

Contoh:

hasil lemparan uang logam dan hasil lemparan dadu;
hasil lemparan pertama dan kedua sebuah dadu adil;
pengambilan bola pertama dan kedua jika bola pertama dikembalikan dan isi kantong diacak kembali.

Untuk dua kejadian saling bebas:

P(A\cap B)=P(A)\times P(B).

Contoh: peluang memperoleh gambar pada uang logam dan bilangan genap pada dadu adalah:

\frac{1}{2}\times\frac{3}{6}=\frac{1}{4}.

Kejadian tidak saling bebas

Jika sebuah benda diambil tanpa dikembalikan, komposisi kumpulan berubah sehingga peluang tahap berikutnya juga berubah.

Sebuah kantong berisi 3 bola merah dan 2 bola biru. Dua bola diambil berturut-turut tanpa pengembalian. Peluang keduanya merah:

\frac{3}{5}\times\frac{2}{4}=\frac{3}{10}.

Faktor kedua berubah dari $\frac{3}{5}$ menjadi $\frac{2}{4}$ karena satu bola merah telah dikeluarkan.

Jika bola pertama dikembalikan sebelum pengambilan kedua, kedua tahap dapat dimodelkan saling bebas:

\frac{3}{5}\times\frac{3}{5}=\frac{9}{25}.

9. Saling Lepas Bukan Berarti Saling Bebas

Kedua istilah ini menjawab pertanyaan berbeda.

Konsep	Pertanyaan kunci	Tanda utama
Saling lepas	Dapatkah keduanya terjadi pada hasil yang sama?	$P(A\cap B)=0$
Saling bebas	Apakah satu kejadian mengubah peluang kejadian lain?	peluang tahap lain tetap

Jika dua kejadian berpeluang positif dan saling lepas, terjadinya satu kejadian justru memastikan kejadian lain tidak terjadi. Jadi, keduanya tidak saling bebas.

Contoh pada satu lemparan dadu:

$A$ = muncul bilangan ganjil;
$B$ = muncul bilangan genap.

$A$ dan $B$ saling lepas, tetapi tidak saling bebas.

10. Strategi Menyelesaikan Masalah Peluang

Nyatakan percobaan dan asumsi model.
Susun ruang sampel yang lengkap atau tentukan peluang setiap tahap.
Definisikan kejadian dengan jelas.
Tandai kata dan, atau, tidak, atau sedikitnya satu.
Periksa apakah kejadian saling lepas, beririsan, saling bebas, atau tidak bebas.
Pilih aturan penjumlahan, perkalian, atau komplemen.
Periksa bahwa hasil berada antara 0 dan 1.
Tafsirkan jawaban dalam konteks dan bedakan prediksi dari kepastian.

11. Miskonsepsi yang Perlu Dihindari

“Setelah lima kali gagal, keberhasilan berikutnya pasti”

Tidak benar untuk percobaan saling bebas. Hasil sebelumnya tidak “memaksa” hasil berikutnya.

“Aturan penjumlahan selalu cukup menjumlahkan”

Tidak benar jika kejadian beririsan. Bagian irisan harus dikurangi sekali.

“Aturan perkalian dapat dipakai dengan peluang yang sama pada semua tahap”

Tidak benar untuk pengambilan tanpa pengembalian. Peluang tahap berikutnya harus disesuaikan.

“Frekuensi harapan adalah hasil yang pasti”

Tidak benar. Frekuensi harapan adalah nilai prediksi jangka panjang.

“Semua hasil dalam ruang sampel selalu sama mungkin”

Tidak selalu. Kesamaan peluang harus berasal dari model atau informasi percobaan, bukan sekadar diasumsikan.

Ringkasan Rumus

P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}

untuk titik sampel yang sama mungkin.

P(A^c)=1-P(A)

F_h=N\times P(A)

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)

P(A\cap B)=P(A)\times P(B)

untuk dua kejadian saling bebas.