Perbandingan Trigonometri

Perbandingan trigonometri (sin, cos, tan, csc, sec, cot) pada segitiga siku-siku, sudut istimewa, dan penerapan untuk memecahkan masalah pengukuran tidak langsung di kehidupan sehari-hari.

Tujuan Pembelajaran (5)

M-E.8Menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan segitiga siku-siku yang melibatkan perbandingan trigonometri dan aplikasinya.
M-E.8.1Memaknai perbandingan trigonometri sebagai keterkaitan sudut dengan sisi-sisi pada segitiga siku-siku.
M-E.8.2Menentukan nilai perbandingan trigonometri (sin, cos, tan) sudut-sudut istimewa (0°, 30°, 45°, 60°, 90°).
M-E.8.3Menerapkan perbandingan trigonometri untuk mencari panjang sisi segitiga siku-siku yang belum diketahui.
M-E.8.4Mencari solusi permasalahan sehari-hari (tinggi, jarak, sudut elevasi/depresi) dengan menerapkan perbandingan trigonometri.

Perbandingan Trigonometri

Bagaimana mengukur tinggi gedung, tiang, pohon, atau tebing tanpa memanjatnya? Dalam banyak situasi, yang dapat diukur langsung justru jarak mendatar dan sudut pandang. Perbandingan trigonometri mengubah data itu menjadi panjang sisi yang belum diketahui.

Peta konsep perbandingan trigonometri

Gambar: perbandingan trigonometri dimulai dari segitiga siku-siku, nama sisi, rasio, lalu penerapan.

Pada bab ini kamu akan menggunakan segitiga siku-siku sebagai model. Setiap sudut lancip pada segitiga siku-siku memiliki tiga perbandingan dasar:

\sin\theta,\quad \cos\theta,\quad \tan\theta

Ketiganya bukan sekadar rumus hafalan. Nilai tersebut adalah rasio panjang sisi. Karena itu, dua segitiga siku-siku yang bentuknya sebangun akan memiliki nilai perbandingan trigonometri yang sama meskipun ukurannya berbeda.

Target belajar bab ini:

Mengidentifikasi sisi depan, sisi samping, dan sisi miring terhadap sebuah sudut.
Menentukan nilai $\sin$ , $\cos$ , dan $\tan$ pada segitiga siku-siku.
Menentukan nilai sudut istimewa $0^\circ$ , $30^\circ$ , $45^\circ$ , $60^\circ$ , dan $90^\circ$ .
Menggunakan perbandingan trigonometri untuk mencari panjang sisi yang belum diketahui.
Menyelesaikan masalah tinggi, jarak, sudut elevasi, dan sudut depresi.

Kunci pentingnya sederhana: gambar segitiga siku-siku dulu, tandai sudut acuan, lalu pilih perbandingan yang memuat data yang diketahui dan besaran yang ditanya.

Teori - Perbandingan Trigonometri

Perbandingan trigonometri membahas hubungan antara besar sudut lancip dan perbandingan panjang sisi pada segitiga siku-siku. Bab ini sesuai dengan TP M-E.8: menyelesaikan permasalahan segitiga siku-siku yang melibatkan perbandingan trigonometri dan aplikasinya.

1. Mengingat Kembali Segitiga Siku-siku

Segitiga siku-siku memiliki satu sudut $90^\circ$ . Sisi yang berada di depan sudut siku-siku disebut sisi miring atau hipotenusa. Sisi miring selalu merupakan sisi terpanjang.

Jika panjang dua sisi siku-siku adalah $a$ dan $b$ , sedangkan sisi miring adalah $c$ , maka berlaku Teorema Pythagoras:

a^2+b^2=c^2

Teorema ini sering dipakai sebelum menentukan perbandingan trigonometri, terutama ketika salah satu sisi segitiga belum diketahui.

2. Nama Sisi terhadap Sudut Acuan

Nama sisi depan dan sisi samping bergantung pada sudut acuan. Sisi yang sama dapat menjadi sisi depan untuk satu sudut, tetapi menjadi sisi samping untuk sudut yang lain.

Label sisi segitiga siku-siku

Gambar: sisi depan, sisi samping, dan sisi miring ditentukan relatif terhadap sudut acuan $\theta$ .

Untuk sebuah sudut lancip $\theta$ pada segitiga siku-siku:

Nama sisi	Arti
Sisi depan	Sisi yang berhadapan langsung dengan sudut $\theta$
Sisi samping	Sisi yang menempel pada sudut $\theta$ , tetapi bukan sisi miring
Sisi miring	Sisi di depan sudut siku-siku

Langkah pertama setiap soal trigonometri adalah menentukan sudut acuan, lalu menamai sisi-sisinya.

3. Sinus, Cosinus, dan Tangen

Tiga perbandingan trigonometri dasar adalah sinus, cosinus, dan tangen.

\sin\theta=\frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi miring}}

\cos\theta=\frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi miring}}

\tan\theta=\frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}}

Contoh: sebuah segitiga siku-siku memiliki sisi depan sudut $\theta$ sepanjang 3, sisi samping 4, dan sisi miring 5.

\sin\theta=\frac{3}{5}

\cos\theta=\frac{4}{5}

\tan\theta=\frac{3}{4}

Perhatikan bahwa nilai trigonometri adalah nilai perbandingan, bukan panjang sisi. Jika semua sisi dikali bilangan yang sama, nilai $\sin$ , $\cos$ , dan $\tan$ tetap sama.

4. Mengapa Rasio Tetap pada Segitiga Sebangun?

Jika dua segitiga siku-siku memiliki satu sudut lancip yang sama besar, maka kedua segitiga itu sebangun. Akibatnya, perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian tetap sama.

Segitiga sebangun dengan nilai tangen sama

Gambar: dua segitiga berbeda ukuran dapat memiliki nilai $\tan\theta$ yang sama karena rasionya tetap.

Misalnya:

\tan\theta=\frac{3}{6}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}

Inilah alasan perbandingan trigonometri bergantung pada besar sudut, bukan pada ukuran segitiga.

5. Perbandingan Kebalikan: Cosecan, Secan, dan Cotangen

Selain $\sin$ , $\cos$ , dan $\tan$ , ada tiga perbandingan kebalikan:

\csc\theta=\frac{1}{\sin\theta}=\frac{\text{sisi miring}}{\text{sisi depan}}

\sec\theta=\frac{1}{\cos\theta}=\frac{\text{sisi miring}}{\text{sisi samping}}

\cot\theta=\frac{1}{\tan\theta}=\frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi depan}}

Contoh jika $\sin\theta=\frac{3}{5}$ , maka:

\csc\theta=\frac{5}{3}

Jika $\tan\theta=\frac{3}{4}$ , maka:

\cot\theta=\frac{4}{3}

Perbandingan kebalikan hanya terdefinisi jika penyebutnya tidak sama dengan nol.

6. Hubungan Dasar antar Perbandingan

Karena semua perbandingan berasal dari sisi segitiga yang sama, beberapa hubungan berikut selalu berlaku untuk sudut lancip:

\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}

dan:

\sin^2\theta+\cos^2\theta=1

Identitas kedua berasal dari Teorema Pythagoras. Jika sisi depan $a$ , sisi samping $b$ , dan sisi miring $c$ , maka:

\left(\frac{a}{c}\right)^2+\left(\frac{b}{c}\right)^2 =\frac{a^2+b^2}{c^2} =\frac{c^2}{c^2} =1

7. Sudut Istimewa

Sudut istimewa adalah sudut yang nilai trigonometri dasarnya dapat ditentukan secara eksak. Nilai $30^\circ$ , $45^\circ$ , dan $60^\circ$ dapat diturunkan dari dua segitiga khusus.

Segitiga untuk sudut istimewa

Gambar: segitiga $45^\circ$ - $45^\circ$ - $90^\circ$ dan $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ menjadi dasar tabel sudut istimewa.

$\theta$	$\sin\theta$	$\cos\theta$	$\tan\theta$
$0^\circ$	$0$	$1$	$0$
$30^\circ$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
$45^\circ$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1$
$60^\circ$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$
$90^\circ$	$1$	$0$	tidak terdefinisi

Untuk perbandingan kebalikan:

$\theta$	$\csc\theta$	$\sec\theta$	$\cot\theta$
$0^\circ$	tidak terdefinisi	$1$	tidak terdefinisi
$30^\circ$	$2$	$\frac{2\sqrt{3}}{3}$	$\sqrt{3}$
$45^\circ$	$\sqrt{2}$	$\sqrt{2}$	$1$
$60^\circ$	$\frac{2\sqrt{3}}{3}$	$2$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
$90^\circ$	$1$	tidak terdefinisi	$0$

Catatan: bentuk $\frac{2}{\sqrt{3}}$ biasanya dirasionalkan menjadi $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ .

8. Mencari Sisi yang Belum Diketahui

Untuk mencari panjang sisi, pilih rasio yang memuat:

sisi yang diketahui,
sisi yang ditanya,
sudut yang diketahui.

Contoh: dari suatu titik di tanah, sudut elevasi ke puncak tiang adalah $30^\circ$ . Jarak titik ke kaki tiang adalah 18 m. Tinggi tiang adalah $h$ .

Sisi yang diketahui adalah sisi samping, sedangkan yang ditanya adalah sisi depan. Rasio yang memuat depan dan samping adalah tangen:

\tan 30^\circ=\frac{h}{18}

\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{h}{18}

h=18\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=6\sqrt{3}

Jadi tinggi tiang adalah $6\sqrt{3}$ m, atau sekitar 10,39 m.

9. Sudut Elevasi dan Sudut Depresi

Sudut elevasi adalah sudut dari garis horizontal ke arah atas. Sudut depresi adalah sudut dari garis horizontal ke arah bawah.

Sudut elevasi dan depresi

Gambar: sudut elevasi digunakan saat melihat ke atas, sedangkan sudut depresi digunakan saat melihat ke bawah.

Pada masalah pengukuran tidak langsung, biasanya segitiga siku-siku terbentuk dari:

Unsur situasi	Unsur segitiga
Jarak mendatar	sisi samping
Selisih tinggi	sisi depan
Garis pandang	sisi miring

Jika tinggi mata pengamat tidak diabaikan, tambahkan tinggi mata ke hasil selisih tinggi dari tanah ke garis mata.

Contoh: seorang siswa berdiri 40 m dari gedung. Sudut elevasi ke puncak gedung adalah $30^\circ$ . Tinggi mata siswa 1,5 m.

Selisih tinggi dari mata ke puncak gedung:

\tan 30^\circ=\frac{h}{40}

h=40\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}

Tinggi gedung:

40\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}+1{,}5

Hasil pendekatan:

40\cdot 0{,}577+1{,}5=24{,}58

Jadi tinggi gedung sekitar 24,58 m.

10. Strategi Menyelesaikan Soal

Gunakan langkah berikut:

Gambar segitiga siku-siku dari situasi soal.
Tandai sudut acuan.
Tentukan sisi depan, sisi samping, dan sisi miring.
Pilih $\sin$ , $\cos$ , atau $\tan$ sesuai sisi yang diketahui dan ditanya.
Susun persamaan rasio.
Hitung panjang sisi atau sudut yang diminta.
Periksa apakah satuan dan konteks jawaban masuk akal.

Kesalahan yang sering terjadi adalah memilih rumus sebelum menggambar segitiga. Dalam trigonometri, gambar sederhana sering lebih penting daripada menghafal banyak bentuk rumus.