Persamaan dan Fungsi Kuadrat

Persamaan kuadrat (pemfaktoran, melengkapkan kuadrat, rumus kuadratik), diskriminan & jenis akar (termasuk akar imajiner), karakteristik dan grafik fungsi kuadrat, serta konstruksi & penerapannya.

Tujuan Pembelajaran (6)

M-E.6Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan persamaan dan fungsi kuadrat (termasuk akar imajiner).
M-E.6.1Mengidentifikasi ciri-ciri persamaan kuadrat dan merumuskan masalah sehari-hari ke dalam bentuk persamaan kuadrat.
M-E.6.2Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan pemfaktoran, melengkapkan kuadrat sempurna, atau rumus kuadratik.
M-E.6.3Menentukan jenis akar persamaan kuadrat berdasarkan nilai diskriminan (termasuk akar imajiner).
M-E.6.4Menjelaskan karakteristik fungsi kuadrat (terbuka ke atas/bawah, titik puncak, titik potong sumbu, sumbu simetri).
M-E.6.5Mengonstruksi fungsi kuadrat berdasarkan informasi yang diberikan dan menyelesaikan masalah kontekstual yang melibatkan fungsi kuadrat.

Persamaan dan Fungsi Kuadrat

Lintasan bola yang dilempar, bentuk lengkung sebuah jembatan, luas terbesar suatu kebun, dan keuntungan maksimum sebuah usaha dapat dimodelkan dengan bentuk kuadrat. Di balik berbagai situasi tersebut terdapat dua gagasan yang saling berkaitan: persamaan kuadrat untuk mencari nilai yang belum diketahui dan fungsi kuadrat untuk mempelajari bagaimana suatu nilai berubah.

Lintasan bola sebagai contoh model fungsi kuadrat

Sebelum memulai, ingat kembali:

sifat distributif dan pemfaktoran bentuk aljabar;
persamaan dan fungsi linear;
koordinat Cartesius;
operasi bilangan berpangkat dan bentuk akar.

Pertanyaan pemantik:

Mengapa sebuah persamaan kuadrat dapat mempunyai dua, satu, atau tidak mempunyai akar real?
Bagaimana koefisien pada $f(x)=ax^2+bx+c$ memengaruhi bentuk dan posisi grafiknya?
Bagaimana titik puncak parabola membantu menentukan nilai maksimum atau minimum dalam masalah nyata?

Pada bab ini, kamu akan belajar:

mengenali dan memodelkan persamaan kuadrat;
menyelesaikan persamaan kuadrat dengan faktorisasi, melengkapkan kuadrat sempurna, dan rumus kuadratik;
menggunakan diskriminan untuk menentukan jenis akar, termasuk akar imajiner;
membaca karakteristik grafik fungsi kuadrat;
mengubah bentuk standar, bentuk faktor, dan bentuk puncak;
mengonstruksi fungsi kuadrat dari akar, titik puncak, atau tiga titik;
menyelesaikan masalah kontekstual yang melibatkan nilai maksimum dan minimum.

Gunakan tab Teori untuk mempelajari konsep dan contoh, tab Soal untuk latihan terstruktur, tab Jawaban untuk memeriksa alasan dan langkah penyelesaian, serta tab Soal+ untuk mencoba butir interaktif satu per satu.

Persamaan dan Fungsi Kuadrat

1. Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat

Persamaan kuadrat satu variabel mempunyai bentuk umum:

ax^2+bx+c=0,\qquad a\ne 0

Bilangan $a$ , $b$ , dan $c$ adalah koefisien. Syarat $a\ne 0$ memastikan pangkat tertinggi variabel adalah dua. Nilai $x$ yang membuat persamaan benar disebut akar atau solusi.

Fungsi kuadrat mempunyai bentuk umum:

f(x)=ax^2+bx+c,\qquad a\ne 0

Perbedaannya terletak pada tujuan:

pada persamaan kuadrat, kita mencari $x$ yang memenuhi $ax^2+bx+c=0$ ;
pada fungsi kuadrat, kita mempelajari hubungan antara masukan $x$ dan keluaran $f(x)$ serta grafiknya.

Contoh pemodelan: sebuah persegi panjang mempunyai lebar $x$ meter dan panjang $(x+5)$ meter. Jika luasnya $84\ \text{m}^2$ , maka

x(x+5)=84

atau

x^2+5x-84=0.

Karena ukuran panjang harus positif, konteks masalah ikut menentukan akar mana yang dapat digunakan.

2. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

Tidak ada satu metode yang selalu paling singkat. Pilih metode berdasarkan bentuk persamaannya.

A. Faktorisasi

Gunakan sifat hasil kali nol:

PQ=0 \quad\Longrightarrow\quad P=0\ \text{atau}\ Q=0.

Contoh:

2x^2-5x-3=0

Faktorkan:

(2x+1)(x-3)=0.

Jadi,

x=-\frac{1}{2}\quad\text{atau}\quad x=3.

Faktorisasi paling efisien ketika pasangan faktor dapat ditemukan dengan mudah.

B. Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Metode ini mengubah bentuk kuadrat menjadi $(x-p)^2=q$ .

Contoh:

x^2+6x-7=0

Pindahkan konstanta, lalu tambahkan kuadrat dari setengah koefisien $x$ pada kedua ruas:

x^2+6x=7

x^2+6x+9=7+9

(x+3)^2=16.

Maka

x+3=\pm 4,

sehingga $x=1$ atau $x=-7$ .

Jika koefisien $x^2$ bukan $1$ , bagi semua suku dengan $a$ terlebih dahulu.

C. Rumus Kuadratik

Untuk persamaan $ax^2+bx+c=0$ , akar-akarnya adalah

x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.

Contoh:

2x^2+x-4=0.

Dengan $a=2$ , $b=1$ , dan $c=-4$ :

x=\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4(2)(-4)}}{2(2)} =\frac{-1\pm\sqrt{33}}{4}.

Rumus kuadratik dapat digunakan untuk semua persamaan kuadrat, termasuk yang sulit difaktorkan.

3. Diskriminan dan Jenis Akar

Bagian di dalam tanda akar pada rumus kuadratik disebut diskriminan:

D=b^2-4ac.

Nilai $D$ menentukan jenis akar:

Hubungan banyak akar nyata dengan titik pertemuan parabola dan sumbu-x

Nilai diskriminan	Jenis akar	Hubungan grafik dengan sumbu- $x$
$D>0$	dua akar real berbeda	memotong di dua titik
$D=0$	satu akar real kembar	menyinggung di satu titik
$D<0$	dua akar kompleks yang saling konjugat	tidak memotong sumbu- $x$

Untuk $D<0$ , digunakan bilangan imajiner $i$ dengan definisi

i=\sqrt{-1}.

Contoh:

x^2+4x+8=0.

Diskriminannya:

D=4^2-4(1)(8)=-16.

Maka

x=\frac{-4\pm\sqrt{-16}}{2}=-2\pm 2i.

Kedua akar tersebut bukan bilangan real, tetapi tetap merupakan solusi dalam himpunan bilangan kompleks.

4. Hubungan Akar dan Koefisien

Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar persamaan $ax^2+bx+c=0$ , maka

x_1+x_2=-\frac{b}{a}

dan

x_1x_2=\frac{c}{a}.

Sebaliknya, persamaan kuadrat yang berakar $p$ dan $q$ dapat ditulis sebagai

a(x-p)(x-q)=0,\qquad a\ne 0.

Contoh: persamaan kuadrat dengan akar $-2$ dan $5$ serta koefisien utama $2$ adalah

2(x+2)(x-5)=0

atau

2x^2-6x-20=0.

5. Grafik Fungsi Kuadrat

Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola. Untuk

f(x)=ax^2+bx+c,

karakteristik utamanya adalah:

jika $a>0$ , parabola terbuka ke atas dan mempunyai nilai minimum;
jika $a<0$ , parabola terbuka ke bawah dan mempunyai nilai maksimum;
semakin besar $|a|$ , parabola tampak semakin sempit;
titik potong sumbu- $y$ adalah $(0,c)$ ;
titik potong sumbu- $x$ , jika ada, merupakan akar dari $ax^2+bx+c=0$ .

Sumbu simetri diberikan oleh

x=-\frac{b}{2a}.

Absis titik puncak adalah $-\frac{b}{2a}$ , sedangkan ordinatnya diperoleh dengan menyubstitusikan nilai tersebut ke fungsi.

Contoh:

f(x)=x^2-4x+3.

Karena $a=1>0$ , grafik terbuka ke atas. Akar-akarnya $1$ dan $3$ , sehingga grafik memotong sumbu- $x$ di $(1,0)$ dan $(3,0)$ . Sumbu simetrinya

x=-\frac{-4}{2(1)}=2.

Nilai fungsi di $x=2$ adalah

f(2)=2^2-4(2)+3=-1.

Jadi, titik puncaknya $(2,-1)$ dan nilai minimumnya $-1$ .

6. Tiga Bentuk Fungsi Kuadrat

Satu fungsi kuadrat dapat ditulis dalam beberapa bentuk.

Bentuk standar

f(x)=ax^2+bx+c.

Bentuk ini langsung menunjukkan koefisien dan titik potong sumbu- $y$ .

Bentuk faktor

f(x)=a(x-x_1)(x-x_2).

Bentuk ini langsung menunjukkan akar atau titik potong sumbu- $x$ .

Bentuk puncak

f(x)=a(x-h)^2+k.

Bentuk ini langsung menunjukkan titik puncak $(h,k)$ dan sumbu simetri $x=h$ .

Contoh:

f(x)=x^2-4x+3=(x-1)(x-3)=(x-2)^2-1.

Ketiga bentuk itu menyatakan fungsi yang sama, tetapi masing-masing menonjolkan informasi yang berbeda.

7. Mengonstruksi Fungsi Kuadrat

Pilih bentuk yang paling sesuai dengan informasi yang tersedia.

Diketahui dua akar dan satu titik

Jika akar-akarnya $r_1$ dan $r_2$ , gunakan

f(x)=a(x-r_1)(x-r_2),

lalu substitusikan titik lain untuk menentukan $a$ .

Diketahui titik puncak dan satu titik

Jika titik puncaknya $(h,k)$ , gunakan

f(x)=a(x-h)^2+k,

lalu substitusikan titik lain untuk menentukan $a$ .

Contoh: suatu parabola berpuncak di $(2,5)$ dan melalui $(0,1)$ .

f(x)=a(x-2)^2+5.

Substitusi $(0,1)$ :

1=a(0-2)^2+5

1=4a+5,

sehingga $a=-1$ . Jadi,

f(x)=-(x-2)^2+5.

Diketahui tiga titik

Substitusikan ketiga titik ke

f(x)=ax^2+bx+c

untuk memperoleh sistem persamaan linear dalam $a$ , $b$ , dan $c$ .

Contoh: grafik melalui $(0,1)$ , $(1,0)$ , dan $(2,3)$ . Substitusi ketiga titik menghasilkan $c=1$ , $a+b=-1$ , dan $2a+b=1$ . Dari sistem tersebut diperoleh $a=2$ , $b=-3$ , dan $c=1$ . Jadi,

f(x)=2x^2-3x+1.

8. Nilai Maksimum dan Minimum dalam Masalah Kontekstual

Titik puncak membantu menentukan nilai optimum.

Contoh 1: luas maksimum

Kawat sepanjang $40\ \text{m}$ digunakan untuk memagari tiga sisi kebun berbentuk persegi panjang. Jika lebarnya $x$ meter, panjang sisi lainnya adalah $(40-2x)$ meter. Luasnya

L(x)=x(40-2x)=-2x^2+40x.

Karena $a=-2<0$ , grafik terbuka ke bawah. Nilai maksimum terjadi saat

x=-\frac{40}{2(-2)}=10.

Panjang kebun $40-2(10)=20\ \text{m}$ dan luas maksimumnya

L(10)=200\ \text{m}^2.

Contoh 2: tinggi maksimum

Ketinggian bola dimodelkan oleh

h(t)=-5t^2+20t+1{,}5,

dengan $t$ dalam detik dan $h$ dalam meter. Waktu saat bola mencapai puncak adalah

t=-\frac{20}{2(-5)}=2.

Ketinggian maksimumnya

h(2)=-5(2)^2+20(2)+1{,}5=21{,}5\ \text{m}.

Selalu tafsirkan hasil sesuai konteks. Waktu, panjang, atau jumlah barang biasanya tidak boleh negatif.

9. Ringkasan

Persamaan kuadrat berbentuk $ax^2+bx+c=0$ dengan $a\ne 0$ .
Akar dapat dicari melalui faktorisasi, melengkapkan kuadrat sempurna, atau rumus kuadratik.
Diskriminan $D=b^2-4ac$ menentukan jenis akar dan banyak titik potong grafik dengan sumbu- $x$ .
Grafik fungsi kuadrat adalah parabola; tanda $a$ menentukan arah buka.
Sumbu simetri adalah $x=-\frac{b}{2a}$ dan titik puncak memberi nilai maksimum atau minimum.
Bentuk standar, faktor, dan puncak menonjolkan informasi yang berbeda.
Fungsi kuadrat dapat dikonstruksi dari akar, titik puncak, atau tiga titik.
Dalam masalah nyata, hanya solusi yang sesuai domain konteks yang digunakan.