Representasi dan Interpretasi Data

Statistika deskriptif: ukuran pemusatan (mean, median, modus), ukuran penempatan (kuartil, persentil) & jangkauan interkuartil, diagram batang, histogram, box plot, dot plot, diagram pencar, dan evaluasi laporan statistika.

Tujuan Pembelajaran (11)

M-E.9Merepresentasikan dan menginterpretasi data dengan menggunakan jangkauan kuartil dan interkuartil, serta membuat dan menginterpretasi diagram box plot (box and whisker plot).
M-E.9.1Menentukan ukuran pemusatan (mean, modus, median) dari data tunggal maupun data berkelompok.
M-E.9.2Menentukan ukuran penempatan: kuartil dan persentil dari data tunggal dan data kelompok.
M-E.9.3Menentukan jangkauan dan jangkauan interkuartil (IQR) sebagai ukuran penyebaran data.
M-E.9.4Menggambar dan menganalisis diagram box-and-whisker (box plot).
M-E.10Menentukan dan menggunakan box plot, histogram dan dot plot sesuai dengan natur (karakteristik) data dan kebutuhan.
M-E.10.1Membedakan jenis data dan memilih jenis representasi (diagram batang, histogram, dot plot, box plot) yang sesuai dengan karakteristik data.
M-E.11Menggunakan diagram pencar untuk menyelidiki dan menjelaskan hubungan antara dua variabel numerik/kuantitatif (termasuk salah satunya variabel bebas berupa waktu).
M-E.11.1Menggambar dan menganalisis diagram pencar untuk menyelidiki hubungan antara dua variabel numerik.
M-E.12Mengevaluasi laporan statistika di media berdasarkan tampilan statistika dan representasi data.
M-E.12.1Mengevaluasi laporan statistika di media berdasarkan kelengkapan tampilan, kebenaran statistika, dan pilihan representasi data.

Representasi dan Interpretasi Data

Data hadir di sekitar kita: nilai ulangan, waktu tempuh ke sekolah, durasi penggunaan gawai, hasil survei, hingga laporan ekonomi dan kesehatan. Namun, sekumpulan angka belum otomatis menghasilkan informasi. Data perlu disusun, direpresentasikan, dibandingkan, dan ditafsirkan dengan hati-hati sebelum digunakan untuk mengambil keputusan.

Alur data menjadi representasi, interpretasi, dan keputusan

Grafik yang tepat dapat memperlihatkan pola yang sulit terlihat dalam tabel. Sebaliknya, grafik dengan skala, ukuran pemusatan, atau pembagian kelas yang tidak tepat dapat membuat pembaca mengambil kesimpulan yang keliru. Karena itu, statistika bukan sekadar kegiatan menghitung rata-rata, melainkan juga kegiatan bertanya: Apa yang sebenarnya ditunjukkan data? Informasi apa yang belum tersedia?

Sebelum memulai, ingat kembali:

cara membaca tabel, diagram batang, dan diagram lingkaran;
mean, median, dan modus data tunggal;
koordinat Cartesius dan persentase;
pentingnya mengurutkan data sebelum menentukan median.

Pertanyaan pemantik:

Mengapa satu kumpulan data dapat terlihat berbeda ketika ditampilkan dengan grafik yang berbeda?
Kapan median lebih mewakili data daripada mean?
Apakah dua variabel yang bergerak bersama selalu mempunyai hubungan sebab-akibat?
Bagaimana mengenali laporan statistika yang menyesatkan?

Pada bab ini, kamu akan belajar:

membedakan data kategorik dan numerik serta memilih representasi yang sesuai;
membaca dan membuat diagram batang, histogram, dot plot, box plot, dan diagram pencar;
menggunakan frekuensi relatif untuk membandingkan kelompok yang ukurannya berbeda;
menentukan mean, median, modus, kuartil, persentil, jangkauan, dan jangkauan interkuartil;
membandingkan distribusi beberapa kelompok data;
menyelidiki hubungan dua variabel numerik tanpa tergesa-gesa menyimpulkan sebab-akibat;
mengevaluasi laporan statistika berdasarkan sumber, sampel, perhitungan, skala grafik, dan cara penyajiannya.

Gunakan tab Teori untuk mempelajari konsep dan contoh, tab Soal untuk latihan terstruktur, tab Jawaban untuk memeriksa penalaran, serta tab Soal+ untuk mencoba butir interaktif satu per satu.

Representasi dan Interpretasi Data

1. Data, Variabel, dan Pertanyaan Statistika

Data adalah kumpulan keterangan atau nilai hasil pengamatan. Sebuah kolom yang karakteristiknya dapat berubah disebut variabel. Sebelum membuat grafik atau menghitung ukuran statistika, tentukan dahulu pertanyaan yang ingin dijawab.

Secara umum, data dapat dibedakan menjadi:

Jenis data	Ciri	Contoh
Kategorik	berupa kelompok atau label	moda transportasi, jenis ekstrakurikuler
Numerik diskret	hasil menghitung, biasanya bilangan cacah	banyak buku, jumlah saudara
Numerik kontinu	hasil mengukur dan dapat berada di antara dua nilai	waktu, tinggi, massa

Pemilihan representasi bergantung pada jenis data dan tujuan analisis:

Tujuan	Representasi yang sesuai
membandingkan kategori	diagram batang
melihat setiap nilai pada data numerik berukuran kecil	dot plot
melihat bentuk distribusi data numerik yang dikelompokkan	histogram
membandingkan pusat dan penyebaran beberapa kelompok	box plot
menyelidiki hubungan dua variabel numerik berpasangan	diagram pencar
melihat perubahan suatu nilai terhadap waktu	diagram garis atau diagram pencar dengan waktu pada sumbu horizontal

Panduan memilih grafik sesuai jenis data dan tujuan analisis

Tidak ada grafik yang terbaik untuk semua situasi. Grafik yang baik harus menjawab pertanyaan, memakai skala yang jujur, dan menyertakan label serta satuan.

2. Tabel Frekuensi, Diagram Batang, dan Histogram

A. Frekuensi dan frekuensi relatif

Frekuensi adalah banyaknya data pada suatu nilai, kategori, atau interval. Jika total data adalah $n$ dan frekuensi suatu kelompok adalah $f_i$ , frekuensi relatifnya:

r_i=\frac{f_i}{n}.

Dalam persen:

p_i=\frac{f_i}{n}\times 100\%.

Frekuensi relatif penting ketika dua kelompok mempunyai jumlah anggota berbeda.

Contoh distribusi nilai 20 siswa:

Interval nilai	Frekuensi	Frekuensi relatif
60-69	5	25%
70-79	8	40%
80-89	6	30%
90-99	1	5%
Total	20	100%

B. Diagram batang dan histogram

Walaupun tampak mirip, keduanya digunakan untuk data yang berbeda.

Diagram batang membandingkan kategori. Antarbatang biasanya diberi jarak karena satu kategori terpisah dari kategori lain.
Histogram menunjukkan distribusi data numerik dalam interval. Batang bersebelahan karena interval membentuk skala berkelanjutan.
Pada histogram dengan lebar interval sama, tinggi batang dapat menunjukkan frekuensi.
Jika lebar interval berbeda, perbandingan harus berdasarkan luas batang. Tinggi yang dipakai adalah kepadatan frekuensi:

\text{kepadatan frekuensi}=\frac{\text{frekuensi}}{\text{lebar interval}}.

Bentuk histogram dapat berubah jika batas dan lebar interval diubah. Karena itu, ketika membaca histogram, periksa interval kelasnya sebelum menyimpulkan bentuk distribusi.

C. Dot plot

Pada dot plot, setiap titik mewakili satu pengamatan. Dot plot berguna untuk data numerik berukuran kecil atau sedang karena pembaca masih dapat melihat:

nilai minimum dan maksimum;
nilai yang sering muncul;
celah pada data;
kelompok nilai;
kemungkinan pencilan.

3. Ukuran Pemusatan

Ukuran pemusatan merangkum nilai yang dianggap mewakili suatu kumpulan data.

A. Mean

Untuk data tunggal $x_1,x_2,\ldots,x_n$ :

\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n} =\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}.

Untuk tabel frekuensi:

\bar{x}=\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}.

Mean menggunakan seluruh data sehingga peka terhadap nilai ekstrem.

Contoh data $4,5,5,6,10$ :

\bar{x}=\frac{4+5+5+6+10}{5}=6.

B. Median

Median adalah nilai tengah setelah data diurutkan.

Jika $n$ ganjil, median adalah data pada posisi $\frac{n+1}{2}$ .
Jika $n$ genap, median adalah rata-rata data pada posisi $\frac{n}{2}$ dan $\frac{n}{2}+1$ .

Untuk data $4,5,5,6,10$ , median adalah $5$ . Median lebih tahan terhadap pencilan daripada mean.

C. Modus

Modus adalah nilai atau kategori dengan frekuensi terbesar. Data dapat:

tidak memiliki modus;
memiliki satu modus;
memiliki dua modus atau lebih.

Modus dapat digunakan pada data kategorik maupun numerik.

D. Memilih ukuran pemusatan

Ukuran	Tepat digunakan ketika	Keterbatasan
Mean	data numerik relatif simetris dan seluruh nilai perlu diperhitungkan	mudah berubah karena pencilan
Median	data numerik menceng atau memiliki pencilan	tidak menggunakan besar setiap nilai secara langsung
Modus	nilai/kategori paling umum ingin diketahui	dapat tidak ada atau lebih dari satu

Satu nilai pusat tidak cukup untuk menjelaskan seluruh distribusi. Dua kelompok dapat mempunyai mean yang sama tetapi penyebaran yang sangat berbeda.

4. Ukuran Pemusatan Data Kelompok

Pada data yang sudah dikelompokkan, nilai asli tiap anggota tidak diketahui. Perhitungan menggunakan asumsi atau interpolasi sehingga hasilnya merupakan perkiraan.

A. Mean data kelompok

Jika $x_i$ adalah titik tengah interval dan $f_i$ frekuensinya:

\bar{x}\approx\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}.

Titik tengah interval:

x_i=\frac{\text{batas bawah}+\text{batas atas}}{2}.

Contoh:

Interval	Frekuensi	Titik tengah
0-9	2	4,5
10-19	5	14,5
20-29	3	24,5

Maka:

\bar{x}\approx\frac{2(4{,}5)+5(14{,}5)+3(24{,}5)}{10}=15{,}5.

B. Median data kelompok

Tentukan dahulu kelas yang memuat posisi $\frac{n}{2}$ . Perkiraan median:

Me=L+\left(\frac{\frac{n}{2}-F}{f_m}\right)p,

dengan:

$L$ = tepi bawah kelas median;
$F$ = frekuensi kumulatif sebelum kelas median;
$f_m$ = frekuensi kelas median;
$p$ = panjang kelas.

Pada contoh di atas, $n=10$ , kelas median adalah 10-19, $L=9{,}5$ , $F=2$ , $f_m=5$ , dan $p=10$ :

Me=9{,}5+\left(\frac{5-2}{5}\right)10=15{,}5.

C. Modus data kelompok

Kelas modus adalah interval dengan frekuensi terbesar. Jika diperlukan perkiraan nilai modus:

Mo=L+\left(\frac{d_1}{d_1+d_2}\right)p,

dengan $d_1$ selisih frekuensi kelas modus terhadap kelas sebelumnya dan $d_2$ selisihnya terhadap kelas sesudahnya.

5. Kuartil, Persentil, dan Ukuran Penyebaran

A. Kuartil data tunggal

Setelah data diurutkan:

$Q_1$ memisahkan sekitar 25% data terbawah;
$Q_2$ adalah median;
$Q_3$ memisahkan sekitar 75% data terbawah.

Dalam materi ini digunakan konvensi posisi buku:

posisi $Q_1=\frac{n}{4}$ ;
posisi $Q_2=\frac{n}{2}$ ;
posisi $Q_3=\frac{3n}{4}$ .

Jika posisi tepat berupa bilangan bulat $m$ , nilai kuartil diambil sebagai rata-rata data ke- $m$ dan ke- $(m+1)$ . Jika tidak bulat, posisi dibulatkan ke atas. Perangkat lunak dapat memakai konvensi berbeda, jadi metode yang digunakan harus dinyatakan ketika hasil dibandingkan.

B. Persentil

Persentil membagi data terurut menjadi 100 bagian. $P_k$ adalah nilai yang membuat sekitar $k\%$ data berada pada atau di bawah nilai tersebut.

Misalnya, $P_{80}=78$ berarti sekitar 80% pengamatan bernilai paling tinggi 78, sedangkan sekitar 20% berada di atasnya.

Untuk data kelompok, kuartil atau persentil dapat diperkirakan dengan interpolasi:

Q_k=L+\left(\frac{\frac{k}{4}n-F}{f}\right)p,\qquad k=1,2,3,

P_k=L+\left(\frac{\frac{k}{100}n-F}{f}\right)p.

C. Jangkauan dan jangkauan interkuartil

Jangkauan:

R=x_{max}-x_{min}.

Jangkauan interkuartil atau IQR:

IQR=Q_3-Q_1.

IQR mengukur lebar 50% data tengah sehingga lebih tahan terhadap nilai ekstrem daripada jangkauan.

Contoh data terurut:

2,4,5,7,8,10,12,14.

Diperoleh:

Q_1=\frac{4+5}{2}=4{,}5,\qquad Q_2=\frac{7+8}{2}=7{,}5,\qquad Q_3=\frac{10+12}{2}=11.

Maka:

IQR=11-4{,}5=6{,}5.

D. Pencilan dengan aturan IQR

Batas bawah:

Q_1-1{,}5(IQR).

Batas atas:

Q_3+1{,}5(IQR).

Nilai di luar kedua batas tersebut ditandai sebagai calon pencilan. Status pencilan bukan alasan otomatis untuk menghapus data; penyebabnya perlu diperiksa.

Anatomi box plot, IQR, batas pencilan, dan calon pencilan

6. Box Plot

Box plot merangkum distribusi menggunakan lima ukuran:

\text{minimum}, Q_1, \text{median}, Q_3, \text{maksimum}.

Pada box plot termodifikasi, pencilan digambar sebagai titik terpisah dan whisker mencapai nilai ekstrem terjauh yang masih berada di dalam batas pencilan.

Saat membandingkan box plot, perhatikan:

median untuk membandingkan pusat;
IQR untuk membandingkan penyebaran 50% data tengah;
jangkauan dan panjang whisker untuk melihat sebaran keseluruhan;
posisi median dalam kotak dan whisker yang tidak seimbang sebagai petunjuk kemencengan;
pencilan yang mungkin memerlukan penyelidikan.

Box plot tidak memperlihatkan setiap nilai, jumlah data, atau banyaknya puncak distribusi. Gunakan dot plot atau histogram jika detail tersebut penting.

7. Diagram Pencar

Diagram pencar digunakan untuk data berpasangan $(x,y)$ . Setiap titik mewakili satu objek atau satu waktu pengamatan.

Langkah membaca diagram pencar:

periksa arti, skala, dan satuan kedua sumbu;
lihat arah hubungan: positif, negatif, atau tidak tampak;
lihat bentuk hubungan: linear atau melengkung;
lihat kekuatan hubungan dari kedekatan titik terhadap pola;
cari kelompok data dan pencilan.

Hubungan positif: $x$ cenderung meningkat saat $y$ meningkat.
Hubungan negatif: $x$ cenderung meningkat saat $y$ menurun.
Tidak ada hubungan yang tampak: titik tidak membentuk kecenderungan jelas.

Jika waktu menjadi variabel bebas, letakkan waktu pada sumbu horizontal untuk melihat tren.

Korelasi bukan sebab-akibat

Hubungan pada diagram pencar tidak cukup untuk membuktikan bahwa perubahan satu variabel menyebabkan perubahan variabel lain. Hubungan dapat muncul karena:

variabel ketiga yang tidak diamati;
kebetulan;
cara sampel dipilih;
arah sebab yang terbalik.

Kesimpulan sebab-akibat memerlukan rancangan penelitian dan bukti tambahan.

8. Mengevaluasi Laporan Statistika

Sebelum menerima klaim berbasis data, periksa hal-hal berikut.

A. Sumber dan pengumpulan data

Siapa yang mengumpulkan data?
Populasi apa yang ingin dijelaskan?
Bagaimana sampel dipilih dan berapa ukurannya?
Apakah pertanyaan survei netral?
Kapan dan di mana data dikumpulkan?

B. Perhitungan dan pembanding

Apakah mean, median, persentase, atau ukuran lain dihitung dengan benar?
Apakah kelompok yang dibandingkan mempunyai penyebut yang sama?
Jika ukuran kelompok berbeda, apakah frekuensi relatif lebih tepat?
Apakah pencilan membuat mean kurang mewakili data?

C. Tampilan grafik

Apakah judul, label, satuan, legenda, dan sumber tersedia?
Apakah sumbu dipotong sehingga perbedaan tampak berlebihan?
Apakah interval kelas dipilih secara wajar?
Apakah luas gambar atau ikon mengubah kesan besar data?
Apakah grafik yang dipilih sesuai dengan jenis data?

D. Bahasa kesimpulan

Bedakan antara:

deskripsi data yang benar-benar diamati;
generalisasi dari sampel ke populasi;
prediksi;
klaim sebab-akibat.

Contoh: dua batang bernilai 98 dan 100 akan terlihat sangat berbeda jika sumbu vertikal dimulai dari 97. Nilainya memang berbeda, tetapi tampilan tersebut membesar-besarkan perbedaannya.

Perbandingan data yang sama pada skala sumbu jujur dan sumbu terpotong

9. Alur Analisis Data

Gunakan alur berikut:

rumuskan pertanyaan;
kenali jenis data dan cara pengumpulannya;
bersihkan serta susun data;
pilih tabel, grafik, dan ukuran statistika;
hitung dan periksa hasil;
interpretasikan dalam konteks;
nyatakan keterbatasan;
komunikasikan kesimpulan tanpa melebihi bukti.

10. Ringkasan

Diagram batang digunakan untuk kategori; histogram untuk distribusi data numerik berinterval.
Dot plot mempertahankan nilai individual, sedangkan box plot meringkas pusat dan penyebaran.
Mean memakai semua nilai tetapi peka terhadap pencilan; median lebih tahan terhadap pencilan; modus menunjukkan nilai paling sering.
Perhitungan data kelompok merupakan perkiraan karena memakai titik tengah atau interpolasi.
Kuartil dan persentil menunjukkan posisi data; jangkauan dan IQR menunjukkan penyebaran.
Box plot membantu membandingkan median, IQR, kemencengan, dan pencilan.
Diagram pencar menunjukkan pola hubungan dua variabel numerik, tetapi korelasi tidak otomatis berarti sebab-akibat.
Laporan statistika perlu dievaluasi dari sumber data, sampel, perhitungan, representasi, dan bahasa kesimpulannya.