Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear

Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear

Dalam kehidupan sehari-hari, banyak keputusan dibuat dari beberapa syarat sekaligus. Harga beberapa barang dapat ditentukan dari total belanja yang berbeda. Jumlah bus yang dibutuhkan dapat dibatasi oleh kapasitas penumpang dan biaya. Campuran bahan dapat diatur agar memenuhi batas stok dan target produksi.

Bab ini membahas dua alat matematika untuk situasi seperti itu:

1. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV), ketika setiap syarat berupa persamaan dan semua syarat harus dipenuhi tepat.
2. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPtLDV), ketika syarat berupa batas minimum, maksimum, atau daerah yang masih mungkin.

Gambar: sistem linear menghubungkan konteks, model matematika, metode penyelesaian, dan tafsir jawaban.

Target belajar bab ini:

1. Membuat model matematika SPLTV dari masalah kontekstual.
2. Menyelesaikan SPLTV dengan substitusi, eliminasi, atau gabungan keduanya.
3. Menafsirkan solusi SPLTV sesuai konteks masalah.
4. Membuat model matematika SPtLDV dari masalah kontekstual.
5. Menentukan daerah penyelesaian SPtLDV secara grafik.
6. Menafsirkan daerah penyelesaian sebagai kumpulan pilihan yang memenuhi semua syarat.

Prinsip utama bab ini adalah serentak. Solusi sistem bukan hanya memenuhi satu persamaan atau satu pertidaksamaan, tetapi memenuhi semua syarat pada saat yang sama.

Teori - Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear

Bab ini sesuai dengan TP M-E.4 dan M-E.5. Fokusnya adalah memodelkan dan menyelesaikan masalah dengan SPLTV dan SPtLDV. Pembahasan dibatasi pada substitusi, eliminasi, gabungan keduanya, serta grafik daerah penyelesaian. Metode matriks dan program linear tidak menjadi fokus bab ini.

1. Apa Itu Sistem Linear?

Sebuah persamaan atau pertidaksamaan disebut linear jika setiap variabel berpangkat satu dan tidak ada perkalian antarvariabel.

Contoh linear:

Contoh bukan linear:

Kata sistem berarti beberapa persamaan atau pertidaksamaan dipakai secara serentak. Solusinya harus memenuhi semua syarat, bukan hanya salah satunya.

2. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) memuat tiga variabel, misalnya $x$, $y$, dan $z$, serta beberapa persamaan linear.

Contoh:

Solusi SPLTV adalah tripel nilai $(x,y,z)$ yang membuat semua persamaan benar.

3. Memodelkan Masalah ke SPLTV

Pemodelan adalah proses mengubah informasi verbal menjadi persamaan matematika.

Gambar: model matematika dimulai dari penentuan variabel dan berakhir pada tafsir jawaban.

Langkah umum:

1. Tentukan variabel dan maknanya.
2. Ubah setiap informasi menjadi persamaan.
3. Pastikan satuan konsisten.
4. Selesaikan sistem.
5. Tafsirkan jawaban sesuai konteks.

Contoh: harga satu buku, satu pena, dan satu penghapus berturut-turut adalah $b$, $p$, dan $h$ ribu rupiah.

Jika diketahui:

• 2 buku + 1 pena + 1 penghapus berharga 17 ribu rupiah,
• 1 buku + 2 pena + 1 penghapus berharga 16 ribu rupiah,
• 1 buku + 1 pena + 2 penghapus berharga 15 ribu rupiah,

maka model SPLTV-nya:

4. Metode Substitusi

Metode substitusi dilakukan dengan menyatakan satu variabel dalam bentuk variabel lain, lalu menggantinya ke persamaan lain.

Contoh sederhana:

Dari persamaan ketiga:

Substitusikan ke persamaan pertama:

Gabungkan dengan:

Jumlahkan kedua persamaan:

Substitusikan ke $x+y=7$:

Jadi solusinya:

5. Metode Eliminasi

Metode eliminasi dilakukan dengan menghilangkan satu variabel dari dua persamaan. Pada SPLTV, eliminasi biasanya dilakukan bertahap.

Gambar: SPLTV direduksi menjadi SPLDV, lalu disubstitusikan kembali.

Contoh:

Eliminasi $y$ dan $z$ dengan mengurangkan (2) dan (1):

Eliminasi $x$ dan $z$ dengan mengurangkan (3) dan (1):

Substitusikan $x=4$ dan $y=3$ ke persamaan (1):

Jadi:

6. Banyaknya Solusi Sistem Persamaan Linear

Sistem persamaan linear dapat memiliki:

1. tepat satu solusi,
2. tidak ada solusi,
3. banyak solusi.

Pada dua variabel, hal ini mudah dibaca dari grafik dua garis.

Gambar: garis berpotongan, sejajar, atau berimpit menunjukkan banyaknya solusi yang berbeda.

Pada SPLTV, gagasan yang sama tetap berlaku, tetapi representasi grafiknya berupa bidang dalam ruang tiga dimensi. Untuk tingkat ini, cukup pahami gejalanya dari hasil aljabar:

Hasil aljabar	Arti
Mendapat nilai tunggal untuk semua variabel	satu solusi
Muncul pernyataan salah seperti $0=5$	tidak ada solusi
Muncul pernyataan benar seperti $0=0$ dan ada variabel bebas	banyak solusi

7. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPtLDV) memuat beberapa pertidaksamaan linear dengan dua variabel, misalnya $x$ dan $y$.

Contoh:

Solusinya bukan satu titik saja, tetapi daerah berisi semua pasangan $(x,y)$ yang memenuhi semua pertidaksamaan.

8. Menggambar Daerah Penyelesaian SPtLDV

Langkah menggambar daerah penyelesaian:

1. Ubah tanda pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan untuk menggambar garis batas.
2. Gambar setiap garis batas pada bidang koordinat.
3. Pilih daerah yang memenuhi pertidaksamaan.
4. Ambil irisan dari semua daerah.
5. Jika konteksnya jumlah barang, perhatikan syarat $x\ge 0$, $y\ge 0$, dan kemungkinan bilangan cacah.

Gambar: daerah penyelesaian adalah irisan dari semua setengah bidang yang memenuhi syarat.

Contoh:

Titik $(2,3)$ diuji:

Karena semua benar, $(2,3)$ termasuk daerah penyelesaian.

9. Persamaan atau Pertidaksamaan?

Gunakan persamaan jika informasi menyatakan jumlah tepat, harga total tepat, atau kondisi yang harus sama persis.

Gunakan pertidaksamaan jika informasi menyatakan batas:

Kata dalam konteks	Tanda matematika yang umum
paling banyak, maksimum, tidak melebihi	$\le$
kurang dari	$<$
paling sedikit, minimum, sekurang-kurangnya	$\ge$
lebih dari	$>$
tepat, sama dengan, totalnya	$=$

Contoh: "jumlah kursi paling banyak 40" menjadi:

Contoh: "total biaya tepat 120 ribu rupiah" menjadi:

10. Strategi Menyelesaikan Soal

Untuk SPLTV:

1. Definisikan tiga variabel dengan jelas.
2. Tulis tiga persamaan yang mewakili informasi.
3. Gunakan eliminasi atau substitusi untuk mencari tiga variabel.
4. Cek solusi ke semua persamaan.
5. Tafsirkan hasil dalam satuan konteks.

Untuk SPtLDV:

1. Definisikan dua variabel.
2. Tulis semua batas sebagai pertidaksamaan.
3. Gambar garis batas.
4. Tentukan daerah yang memenuhi semua syarat.
5. Jika diminta contoh solusi, pilih titik dalam daerah dan uji kembali.

Kesalahan umum adalah menyelesaikan hanya satu syarat. Dalam sistem, solusi harus memenuhi semua syarat secara bersamaan.