Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers

Pengertian fungsi (domain, kodomain, range), operasi komposisi dua atau lebih fungsi, sifat-sifatnya (komutatif vs asosiatif), syarat dan aturan fungsi invers, serta penerapan pada masalah dunia nyata.

Tujuan Pembelajaran (8)

M-F.4Menentukan fungsi komposisi untuk memodelkan situasi dunia nyata menggunakan fungsi yang sesuai (linear, kuadrat dan eksponensial).
M-F.4.1Menjelaskan pengertian fungsi dan menentukan domain, kodomain, serta range dari suatu fungsi.
M-F.4.2Menjelaskan syarat dan aturan komposisi fungsi, serta membuat komposisi dua atau lebih fungsi.
M-F.4.3Menyelidiki sifat komposisi fungsi (umumnya tidak komutatif, bersifat asosiatif).
M-F.4.4Menggunakan komposisi fungsi (linear, kuadrat, eksponensial) untuk menyelesaikan masalah dunia nyata.
M-F.5Menentukan fungsi invers untuk memodelkan situasi dunia nyata menggunakan fungsi yang sesuai (linear, kuadrat dan eksponensial).
M-F.5.1Menjelaskan syarat dan aturan pembuatan fungsi invers (fungsi satu-satu / injektif).
M-F.5.2Menggunakan konsep fungsi invers untuk menyelesaikan masalah dunia nyata (mis. kebalikan suatu proses, konversi).

Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers

Banyak proses nyata berlangsung bertahap. Harga barang dapat didiskon lalu dikenai biaya layanan. Volume bahan bakar menentukan jarak tempuh, sedangkan harga bahan bakar menentukan biaya. Ketika keluaran suatu proses menjadi masukan proses berikutnya, kita sedang menggunakan komposisi fungsi.

Model proses dua tahap dan proses kebalikannya

Kadang kita perlu berjalan ke arah sebaliknya. Jika harga akhir diketahui, berapa harga awalnya? Jika suhu dalam Fahrenheit diketahui, berapa Celsiusnya? Proses yang membalikkan fungsi disebut fungsi invers, tetapi tidak setiap fungsi dapat dibalik menjadi fungsi.

Sebelum memulai, ingat kembali:

pengertian relasi dan fungsi;
operasi aljabar serta substitusi;
persamaan linear, kuadrat, dan eksponensial;
notasi himpunan dan interval;
membaca grafik pada bidang Cartesius.

Pertanyaan pemantik:

Mengapa urutan dua proses dapat mengubah hasil akhir?
Kapan keluaran suatu fungsi boleh menjadi masukan fungsi berikutnya?
Mengapa fungsi kuadrat pada seluruh bilangan riil tidak mempunyai fungsi invers?
Mengapa invers komposisi membalik urutan fungsi penyusunnya?

Pada bab ini, kamu akan belajar:

membedakan fungsi dan bukan fungsi;
menentukan domain, kodomain, dan range;
melakukan operasi pada fungsi dengan memperhatikan domain;
menyusun dan menggunakan komposisi dua atau lebih fungsi;
menyelidiki sifat komutatif dan asosiatif komposisi;
membedakan fungsi injektif, surjektif, dan bijektif;
menentukan fungsi invers secara aljabar dan grafis;
membatasi domain agar fungsi tertentu mempunyai invers;
memodelkan masalah nyata dengan komposisi dan invers.

Gunakan tab Teori untuk memahami konsep dan contoh, tab Soal untuk latihan terstruktur, tab Jawaban untuk memeriksa penalaran, serta tab Soal+ untuk berlatih secara interaktif.

Teori Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers

1. Relasi dan Fungsi

Suatu fungsi $f$ dari himpunan $A$ ke himpunan $B$ memasangkan setiap anggota $A$ dengan tepat satu anggota $B$ . Ditulis:

f:A\to B.

Satu masukan tidak boleh mempunyai dua keluaran berbeda. Beberapa masukan boleh menghasilkan keluaran yang sama.

Pada grafik, relasi merupakan fungsi jika setiap garis vertikal memotong grafik paling banyak satu titik. Ini dikenal sebagai uji garis vertikal.

2. Domain, Kodomain, dan Range

Domain: himpunan masukan yang diizinkan.
Kodomain: himpunan sasaran keluaran yang ditetapkan.
Range: keluaran yang benar-benar dihasilkan.

Range selalu merupakan himpunan bagian dari kodomain:

R_f\subseteq K_f.

Contoh, $f(x)=2x+1$ dengan domain $\{0,1,2,3\}$ dan kodomain bilangan bulat. Range-nya:

\{1,3,5,7\}.

Domain bentuk aljabar

Jika tidak dinyatakan lain, domain real ditentukan oleh syarat bentuk fungsi.

Penyebut tidak boleh nol.
Isi akar berpangkat genap tidak boleh negatif.
Argumen logaritma harus positif.
Konteks dapat memberi pembatas tambahan.

Contoh:

f(x)=\frac{1}{x-3}

mempunyai domain $\mathbb{R}\setminus\{3\}$ .

3. Operasi pada Fungsi

Untuk dua fungsi $f$ dan $g$ :

(f+g)(x)=f(x)+g(x),

(f-g)(x)=f(x)-g(x),

(fg)(x)=f(x)g(x),

\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}.

Domain operasi adalah irisan domain fungsi penyusunnya. Untuk pembagian, nilai yang membuat $g(x)=0$ juga harus dikeluarkan.

4. Komposisi Fungsi

Komposisi $f$ setelah $g$ ditulis:

(f\circ g)(x)=f(g(x)).

Urutan membaca dimulai dari fungsi yang paling dekat dengan $x$ : kerjakan $g$ lebih dahulu, kemudian masukkan hasilnya ke $f$ .

Urutan komposisi dan urutan kebalikan proses

Misalkan:

f(x)=2x+3,\qquad g(x)=x^2-1.

Maka:

(f\circ g)(x)=2(x^2-1)+3=2x^2+1,

sedangkan:

(g\circ f)(x)=(2x+3)^2-1=4x^2+12x+8.

Hasilnya berbeda karena urutan proses berbeda.

Syarat komposisi

Komposisi $f\circ g$ dapat dilakukan jika keluaran $g$ dapat diterima sebagai masukan $f$ . Secara himpunan:

R_g\subseteq D_f.

Untuk fungsi aljabar, domain komposisi adalah semua $x$ dalam domain $g$ yang membuat $g(x)$ berada dalam domain $f$ .

Contoh:

f(x)=\sqrt{x},\qquad g(x)=x-4.

Komposisinya:

(f\circ g)(x)=\sqrt{x-4}

dengan domain $x\geq4$ .

5. Sifat Komposisi

Umumnya tidak komutatif

Secara umum:

f\circ g\neq g\circ f.

Kesamaan dapat terjadi pada kasus khusus, tetapi bukan sifat umum.

Bersifat asosiatif

Jika semua komposisi terdefinisi:

(f\circ g)\circ h=f\circ(g\circ h).

Pengelompokan boleh berubah, tetapi urutan $h$ , lalu $g$ , lalu $f$ tetap sama.

Fungsi identitas

Fungsi identitas $I(x)=x$ tidak mengubah masukan:

f\circ I=I\circ f=f.

6. Komposisi dalam Pemodelan

Misalkan harga awal barang $x$ rupiah didiskon 20%, lalu dikenai biaya layanan Rp10.000.

d(x)=0{,}8x,

b(x)=x+10.000.

Harga akhir adalah:

(b\circ d)(x)=0{,}8x+10.000.

Jika urutannya ditukar:

(d\circ b)(x)=0{,}8(x+10.000)=0{,}8x+8.000.

Perbedaan Rp2.000 menunjukkan bahwa urutan proses memiliki makna nyata.

7. Injektif, Surjektif, dan Bijektif

Injektif

Fungsi injektif atau satu-satu tidak memberikan keluaran yang sama untuk dua masukan berbeda:

f(a)=f(b)\Rightarrow a=b.

Secara grafis, fungsi injektif lulus uji garis horizontal.

Surjektif

Fungsi surjektif mencapai setiap anggota kodomain. Dengan kata lain, range sama dengan kodomain.

Bijektif

Fungsi bijektif sekaligus injektif dan surjektif. Setiap anggota kodomain dipasangkan dengan tepat satu anggota domain. Fungsi bijektif mempunyai fungsi invers.

Pernyataan “mempunyai invers” harus selalu dibaca bersama domain dan kodomainnya.

8. Fungsi Invers

Jika $f:A\to B$ bijektif, inversnya $f^{-1}:B\to A$ membalik pemetaan $f$ .

Invers memenuhi:

(f^{-1}\circ f)(x)=x

untuk $x$ dalam domain $f$ , dan:

(f\circ f^{-1})(x)=x

untuk $x$ dalam domain $f^{-1}$ .

Notasi $f^{-1}$ bukan berarti $\frac{1}{f}$ .

Langkah aljabar mencari invers

Tulis $y=f(x)$ .
Tukar peran $x$ dan $y$ .
Selesaikan persamaan untuk $y$ .
Tulis $y=f^{-1}(x)$ .
Periksa domain, range, dan komposisinya.

Contoh:

f(x)=3x-5.

Mulai dari $y=3x-5$ , tukar $x$ dan $y$ :

x=3y-5.

Maka:

f^{-1}(x)=\frac{x+5}{3}.

9. Grafik Fungsi dan Invers

Grafik $f$ dan $f^{-1}$ saling mencerminkan terhadap garis $y=x$ . Titik $(a,b)$ pada grafik $f$ menjadi titik $(b,a)$ pada grafik invers.

Grafik fungsi linear dan inversnya yang dicerminkan terhadap y sama dengan x

Uji garis horizontal membantu menentukan apakah grafik fungsi mempunyai invers yang juga merupakan fungsi.

10. Membatasi Domain

Fungsi kuadrat $f(x)=x^2$ pada domain $\mathbb{R}$ tidak injektif karena $f(2)=f(-2)$ . Relasi kebalikannya akan memberikan dua keluaran bagi sebagian masukan.

Jika domain dibatasi menjadi $x\geq0$ , fungsi menjadi satu-satu dan:

f^{-1}(x)=\sqrt{x},\qquad x\geq0.

Jika domain dibatasi menjadi $x\leq0$ , inversnya:

f^{-1}(x)=-\sqrt{x},\qquad x\geq0.

Pilihan cabang harus sesuai domain fungsi asal.

11. Invers Fungsi Eksponensial

Untuk $a>0$ dan $a\neq1$ , fungsi eksponensial $f(x)=a^x$ memetakan $\mathbb{R}$ ke $(0,\infty)$ secara bijektif. Inversnya adalah fungsi logaritma:

f^{-1}(x)=\log_a x,\qquad x>0.

Contoh, invers dari $f(x)=2^x$ adalah $f^{-1}(x)=\log_2 x$ .

12. Invers Komposisi

Jika $f$ dan $g$ bijektif serta komposisinya terdefinisi, maka:

(f\circ g)^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}.

Urutannya dibalik. Untuk membatalkan proses “ $g$ lalu $f$ ”, kita harus membatalkan $f$ lebih dahulu, kemudian $g$ .

Contoh, $g(x)=2x$ dan $f(x)=x+3$ . Komposisinya:

(f\circ g)(x)=2x+3.

Invers langsungnya:

(f\circ g)^{-1}(x)=\frac{x-3}{2}.

Karena $f^{-1}(x)=x-3$ dan $g^{-1}(x)=\frac{x}{2}$ :

(g^{-1}\circ f^{-1})(x)=\frac{x-3}{2}.

13. Strategi Penyelesaian

Nyatakan domain, kodomain, dan range yang relevan.
Untuk komposisi, kerjakan fungsi paling dalam lebih dahulu.
Periksa apakah range fungsi dalam diterima domain fungsi luar.
Sederhanakan bentuk aljabar tanpa menghilangkan batas domain.
Untuk invers, pastikan fungsi satu-satu dan surjektif terhadap kodomain yang dipilih.
Tukar $x$ dan $y$ , lalu selesaikan dengan teliti.
Verifikasi menggunakan kedua komposisi identitas.
Tafsirkan hasil dalam konteks dan satuan asal.

14. Miskonsepsi yang Perlu Dihindari

$(f\circ g)(x)$ bukan $f(x)g(x)$ .
$f^{-1}(x)$ bukan $\frac{1}{f(x)}$ .
$f\circ g$ umumnya tidak sama dengan $g\circ f$ .
Mengganti pengelompokan pada sifat asosiatif tidak berarti menukar urutan.
Tidak semua fungsi mempunyai invers yang berupa fungsi.
Rumus yang benar secara aljabar tetap dapat salah jika domainnya diabaikan.

Ringkasan Rumus

(f\circ g)(x)=f(g(x))

(f\circ g)\circ h=f\circ(g\circ h)

f^{-1}\circ f=I,qquad f\circ f^{-1}=I

(f\circ g)^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}.