Bangun Ruang

Bangun ruang: pengaruh perubahan ukuran proporsional, jaring-jaring, luas permukaan, volume bangun sisi datar & sisi lengkung, masalah kontekstual.

Tujuan Pembelajaran (9)

M-D.9Menentukan pengaruh perubahan secara proporsional ukuran panjang, luas, dan/atau volume dari bangun datar dan bangun ruang.
M-D.9.1Menetapkan efek perubahan secara proporsional pada panjang, luas, ataupun volume bidang datar.
M-D.9.2Menetapkan efek perubahan secara proporsional pada panjang, luas, ataupun volume bangun ruang.
M-D.10Menentukan jaring-jaring, luas permukaan dan volume bangun ruang; serta menyelesaikan masalah yang terkait.
M-D.10.1Membuat jaring-jaring aneka bangun ruang (prisma, tabung, limas, kerucut) lalu menyusun kembali bangun dari jaring-jaringnya.
M-D.10.2Menetapkan keliling sekaligus luas lingkaran sebagai bekal menghitung luas-permukaan beserta volume bangun lengkung.
M-D.10.3Menetapkan luas permukaan aneka bangun ruang datar maupun yang sisi lengkung (kubus, balok, prisma, tabung, limas, kerucut, bola).
M-D.10.4Menetapkan volume aneka bangun ruang datar maupun yang sisi lengkung.
M-D.10.5Memecahkan ragam persoalan kontekstual yang menyangkut bangun ruang.

Bangun Ruang

Bangun ruang adalah bentuk tiga dimensi yang memiliki ukuran panjang, lebar, dan tinggi. Kardus paket, kaleng minuman, atap rumah, tenda, bola, dan kemasan makanan adalah contoh benda yang dapat dipelajari dengan ide bangun ruang.

Di bab ini, kamu tidak hanya menghafal rumus. Kamu akan belajar membaca bentuk ruang dari jaring-jaringnya, menghitung luas bahan yang menutup permukaan, memperkirakan kapasitas atau isi, serta menalar akibat perubahan ukuran.

Ilustrasi beberapa bangun ruang dalam konteks kemasan dan benda sehari-hari

Gambar: bangun ruang dapat muncul sebagai kemasan, wadah, mainan, bangunan, dan benda sehari-hari.

Pertanyaan awal:

Jika sebuah kotak diperbesar dua kali pada semua rusuknya, apakah luas bahan pembungkusnya juga dua kali?
Mengapa volume kerucut dengan alas dan tinggi yang sama dengan tabung hanya sepertiga volume tabung?
Bisakah semua bangun ruang dibuat dari jaring-jaring datar?
Dalam memilih kemasan, mana yang lebih penting: luas bahan, volume, atau bentuk?

Dalam bab ini kamu akan belajar:

mengenali bangun ruang sisi datar dan sisi lengkung;
membaca dan membuat jaring-jaring prisma, limas, tabung, dan kerucut;
menentukan luas permukaan kubus, balok, prisma, limas, tabung, kerucut, dan bola;
menentukan volume kubus, balok, prisma, limas, tabung, kerucut, dan bola;
memakai keliling dan luas lingkaran sebagai bekal bangun ruang sisi lengkung;
menalar perubahan proporsional: skala panjang $k$ , luas menjadi $k^2$ , volume menjadi $k^3$ ;
menyelesaikan masalah kontekstual tentang kemasan, wadah, bangunan, dan benda nyata.

Gunakan tab Teori untuk memahami konsep, tab Soal untuk latihan, tab Jawaban untuk mengecek pembahasan, dan tab Soal+ untuk latihan interaktif per-butir.

Teori - Bangun Ruang

1. Dari Bangun Datar ke Bangun Ruang

Bangun datar memiliki dua ukuran utama, misalnya panjang dan lebar. Bangun ruang memiliki tiga ukuran utama, sehingga dapat menempati ruang.

Beberapa kelompok penting:

Bangun ruang sisi datar: kubus, balok, prisma, dan limas.
Bangun ruang sisi lengkung: tabung, kerucut, dan bola.
Bangun gabungan: benda nyata yang tersusun dari beberapa bangun, misalnya tabung dengan setengah bola, balok dengan prisma, atau kerucut di atas tabung.

Dalam geometri ruang, dua pertanyaan yang paling sering muncul adalah:

berapa luas permukaan benda itu?
berapa volume atau isi ruang yang ditempatinya?

2. Galeri Jenis Bangun Ruang

Perhatikan bentuk dasar berikut sebelum masuk ke rumus. Gambar ini membantu membedakan ciri tiap bangun ruang, sehingga rumus luas permukaan dan volume tidak terasa lepas dari bentuknya.

Sisi Datar	Sisi Datar

Kubus	Balok

Prisma	Limas

Sisi Lengkung	Sisi Lengkung

Tabung	Kerucut

Bola

3. Jaring-Jaring Bangun Ruang

Jaring-jaring adalah susunan bangun datar yang dapat dilipat menjadi sebuah bangun ruang.

Jaring-jaring beberapa bangun ruang

Gambar: jaring-jaring membantu melihat seluruh sisi bangun ruang sebagai bangun datar.

Contoh:

Kubus memiliki $6$ sisi berbentuk persegi.
Balok memiliki $6$ sisi berbentuk persegi panjang.
Prisma memiliki dua alas yang kongruen dan beberapa sisi tegak berbentuk persegi panjang atau jajargenjang.
Limas memiliki satu alas dan beberapa sisi tegak berbentuk segitiga.
Tabung memiliki dua lingkaran dan satu selimut lengkung yang jika dibuka menjadi persegi panjang.
Kerucut memiliki satu lingkaran dan satu selimut yang jika dibuka menjadi juring lingkaran.

Bola tidak memiliki jaring-jaring datar sederhana seperti kubus atau tabung. Permukaan bola memang dapat dipetakan ke bidang datar, tetapi selalu ada bagian yang terdistorsi, seperti peta dunia.

4. Luas Permukaan

Luas permukaan adalah jumlah luas semua bagian luar bangun ruang. Satuan luas memakai satuan persegi, misalnya $\text{cm}^2$ atau $\text{m}^2$ .

Cara berpikirnya:

lihat semua sisi yang menutup bangun;
cari luas tiap sisi;
jumlahkan luasnya.

Luas permukaan dan volume sebagai dua ukuran berbeda

Gambar: luas permukaan menghitung bagian luar, sedangkan volume menghitung ruang yang terisi.

Kubus, Balok, dan Prisma

Kubus dengan panjang rusuk $s$ :

L = 6s^2

Balok dengan panjang $p$ , lebar $l$ , dan tinggi $t$ :

L = 2(pl + pt + lt)

Prisma dengan luas alas $A$ , keliling alas $K$ , dan tinggi prisma $t$ :

L = 2A + Kt

Rumus prisma berlaku karena prisma memiliki dua alas yang kongruen dan selimut yang luasnya dapat dipandang sebagai keliling alas dikali tinggi.

Limas

Untuk limas, luas permukaan dihitung dari luas alas ditambah luas semua sisi tegaknya.

Jika limas beraturan memiliki luas alas $A$ , keliling alas $K$ , dan tinggi sisi tegak atau apotema $l$ , maka:

L = A + \frac{1}{2}Kl

Untuk limas yang tidak beraturan, lebih aman menggambar atau membayangkan jaring-jaringnya, lalu jumlahkan luas tiap segitiga sisi tegak.

5. Keliling dan Luas Lingkaran sebagai Bekal

Bangun ruang sisi lengkung memakai lingkaran sebagai alas atau bagian permukaan.

Keliling lingkaran:

K = 2\pi r

Luas lingkaran:

A = \pi r^2

Pada rumus tersebut, $r$ adalah jari-jari. Gunakan $\pi \approx 3{,}14$ atau $\pi = \frac{22}{7}$ sesuai kebutuhan soal.

6. Luas Permukaan Bangun Sisi Lengkung

Tabung dengan jari-jari $r$ dan tinggi $t$ :

L = 2\pi r^2 + 2\pi rt

Dua bagian $2\pi r^2$ berasal dari dua lingkaran alas dan tutup. Bagian $2\pi rt$ berasal dari selimut tabung.

Kerucut dengan jari-jari $r$ dan garis pelukis $s$ :

L = \pi r^2 + \pi rs

Jika yang diketahui tinggi kerucut $t$ , garis pelukis dapat dicari dengan Teorema Pythagoras:

s = \sqrt{r^2 + t^2}

Bola dengan jari-jari $r$ :

L = 4\pi r^2

7. Volume

Volume menyatakan banyaknya ruang yang ditempati atau kapasitas yang dapat diisi. Satuan volume memakai satuan kubik, misalnya $\text{cm}^3$ atau $\text{m}^3$ .

Kubus:

V = s^3

Balok:

V = p \times l \times t

Prisma:

V = A \times t

Limas:

V = \frac{1}{3}At

Tabung:

V = \pi r^2t

Kerucut:

V = \frac{1}{3}\pi r^2t

Bola:

V = \frac{4}{3}\pi r^3

Hubungan penting: kerucut memiliki volume $\frac{1}{3}$ volume tabung jika keduanya memiliki jari-jari alas dan tinggi yang sama. Limas juga memiliki volume $\frac{1}{3}$ volume prisma jika alas dan tingginya sama.

8. Perubahan Ukuran Secara Proporsional

Jika semua ukuran panjang suatu bangun ruang dikalikan faktor skala $k$ , maka:

semua panjang menjadi $k$ kali;
luas permukaan menjadi $k^2$ kali;
volume menjadi $k^3$ kali.

Perubahan skala pada bangun ruang

Gambar: memperbesar semua ukuran panjang membuat luas dan volume berubah lebih cepat daripada panjang.

Contoh: sebuah kubus memiliki rusuk $4\ \text{cm}$ . Jika semua rusuknya diperbesar $2$ kali, rusuk baru menjadi $8\ \text{cm}$ .

Luas permukaan awal:

6 \times 4^2 = 96\ \text{cm}^2

Luas permukaan baru:

6 \times 8^2 = 384\ \text{cm}^2

Perbandingan luas:

\frac{384}{96} = 4 = 2^2

Volume awal:

4^3 = 64\ \text{cm}^3

Volume baru:

8^3 = 512\ \text{cm}^3

Perbandingan volume:

\frac{512}{64} = 8 = 2^3

9. Strategi Menyelesaikan Masalah Kontekstual

Saat menghadapi soal bangun ruang:

Tentukan bentuk bangun atau gabungan bangunnya.
Tandai ukuran yang diketahui.
Pilih apakah yang ditanya luas permukaan atau volume.
Perhatikan bagian yang tidak dihitung, misalnya tabung tanpa tutup atau kerucut tanpa alas.
Gunakan satuan yang tepat.
Jika ukuran berubah proporsional, gunakan pola $k$ , $k^2$ , dan $k^3$ untuk mengecek kewajaran jawaban.

Ringkasan

Jaring-jaring mengubah permukaan bangun ruang menjadi susunan bangun datar.
Luas permukaan adalah total luas bagian luar bangun ruang.
Volume adalah ukuran ruang yang ditempati bangun.
Kubus, balok, prisma, dan tabung memiliki pola volume $A \times t$ .
Limas dan kerucut memiliki volume $\frac{1}{3}$ dari prisma atau tabung yang alas dan tingginya sama.
Bola memiliki luas permukaan $4\pi r^2$ dan volume $\frac{4}{3}\pi r^3$ .
Jika panjang berubah dengan skala $k$ , luas berubah $k^2$ , dan volume berubah $k^3$ .