Peluang dan Pemilihan Sampel

Peluang membantu kita menilai seberapa mungkin suatu kejadian terjadi. Pemilihan sampel membantu kita mengambil sebagian data dari populasi agar kesimpulan yang dibuat tetap masuk akal.

Kedua ide ini sering muncul dalam kehidupan sehari-hari. Saat melempar koin, memutar roda hadiah, membaca hasil survei, atau menilai apakah sampel sudah mewakili populasi, kita sedang memakai penalaran peluang dan data.

Peta konsep peluang dan pemilihan sampel

Gambar: peluang membahas kemungkinan kejadian, sedangkan pemilihan sampel membahas cara mengambil sebagian data agar mewakili populasi.

Pertanyaan awal:

Jika sebuah dadu dilempar $60$ kali, apakah angka $6$ pasti muncul tepat $10$ kali?
Mengapa hasil percobaan yang sedikit kadang berbeda jauh dari peluang teoretis?
Apakah sampel yang besar selalu lebih baik daripada sampel yang lebih kecil?
Bagaimana cara memilih sampel agar tidak berat sebelah?

Dalam bab ini kamu akan belajar:

menentukan percobaan, ruang sampel, titik sampel, dan kejadian;
menghitung peluang teoretis suatu kejadian;
membedakan kejadian mustahil, kejadian mungkin, dan kejadian pasti;
menghitung frekuensi relatif sebagai peluang empiris;
menggunakan peluang untuk menentukan frekuensi harapan;
membedakan populasi dan sampel;
menilai apakah sampel representatif terhadap populasi;
memilih sampel secara acak untuk mengurangi bias.

Gunakan tab Teori untuk memahami konsep, tab Soal untuk latihan bertahap, tab Jawaban untuk mengecek pembahasan, dan tab Soal+ untuk latihan interaktif per-butir.

Teori - Peluang dan Pemilihan Sampel

1. Percobaan, Ruang Sampel, dan Kejadian

Dalam peluang, percobaan adalah kegiatan yang menghasilkan satu atau lebih kemungkinan hasil. Contohnya melempar koin, melempar dadu, mengambil kartu, atau memutar roda bernomor.

Istilah penting:

hasil percobaan: satu hasil yang mungkin terjadi;
ruang sampel: himpunan semua hasil yang mungkin terjadi;
titik sampel: anggota ruang sampel;
kejadian: himpunan hasil yang memenuhi syarat tertentu.

Misalnya dua koin dilempar bersamaan. Jika $A$ berarti angka dan $G$ berarti gambar, maka ruang sampelnya:

S=\{(A,A),(A,G),(G,A),(G,G)\}

Ruang sampel pelemparan dua koin

Gambar: tabel atau diagram pohon membantu memastikan semua hasil percobaan sudah terdaftar.

Jika kejadiannya adalah "muncul tepat satu gambar", maka:

K=\{(A,G),(G,A)\}

Jadi $n(S)=4$ dan $n(K)=2$ .

2. Peluang Teoretis

Jika semua hasil percobaan memiliki kemungkinan yang sama, peluang kejadian $A$ dapat dihitung dengan:

P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}

dengan:

$n(A)$ adalah banyak hasil yang memenuhi kejadian $A$ ;
$n(S)$ adalah banyak hasil pada ruang sampel.

Contoh:

Sebuah dadu adil dilempar sekali. Kejadian $B$ adalah muncul bilangan genap.

S=\{1,2,3,4,5,6\}

B=\{2,4,6\}

Maka:

P(B)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=0{,}5=50\%

3. Rentang Nilai Peluang

Nilai peluang selalu berada dari $0$ sampai $1$ .

0 \le P(A) \le 1

Maknanya:

$P(A)=0$ : kejadian mustahil;
$0<P(A)<1$ : kejadian mungkin terjadi;
$P(A)=1$ : kejadian pasti.

Contoh:

Muncul mata dadu $7$ saat melempar satu dadu adalah kejadian mustahil.
Muncul mata dadu genap adalah kejadian mungkin.
Muncul mata dadu kurang dari $7$ saat melempar satu dadu adalah kejadian pasti.

4. Peluang Empiris dan Frekuensi Relatif

Peluang empiris diperoleh dari hasil percobaan yang benar-benar dilakukan. Peluang empiris sering ditulis sebagai frekuensi relatif.

\text{Frekuensi relatif}=\frac{\text{banyak kejadian terjadi}}{\text{banyak percobaan}}

Misalnya sebuah koin dilempar $40$ kali dan sisi gambar muncul $18$ kali. Frekuensi relatif sisi gambar adalah:

\frac{18}{40}=0{,}45=45\%

Perbandingan peluang teoretis dan empiris

Gambar: hasil percobaan sedikit dapat naik-turun, tetapi percobaan yang makin banyak biasanya mendekati peluang teoretis.

Peluang teoretis sisi gambar pada koin adil adalah $\frac{1}{2}=50\%$ . Hasil empiris $45\%$ tidak berarti rumus teoretis salah. Percobaan nyata memang dapat berbeda, terutama jika jumlah percobaannya masih sedikit.

5. Frekuensi Harapan

Frekuensi harapan adalah perkiraan banyaknya kemunculan suatu kejadian dalam sejumlah percobaan.

\text{Frekuensi harapan}=P(A) \times \text{banyak percobaan}

Contoh:

Sebuah dadu adil dilempar $120$ kali. Kejadian $A$ adalah muncul mata dadu $5$ .

P(A)=\frac{1}{6}

\text{Frekuensi harapan}=\frac{1}{6} \times 120=20

Jadi, mata dadu $5$ diharapkan muncul sekitar $20$ kali. Kata "diharapkan" tidak berarti pasti tepat $20$ kali.

Frekuensi harapan pada pelemparan dadu

Gambar: frekuensi harapan adalah perkiraan, bukan jaminan hasil persis.

6. Populasi dan Sampel

Populasi adalah seluruh orang atau objek yang ingin diteliti. Sampel adalah sebagian anggota populasi yang diambil untuk mewakili populasi.

Contoh:

Pertanyaan penelitian: "Berapa rata-rata waktu belajar siswa kelas IX di suatu sekolah?"

Populasi: seluruh siswa kelas IX di sekolah tersebut.
Sampel: beberapa siswa kelas IX yang dipilih untuk ditanya waktu belajarnya.

Populasi, sampel, dan sampel representatif

Gambar: sampel yang baik perlu menyerupai pola populasi, bukan hanya berjumlah besar.

7. Sampel Representatif

Sampel disebut representatif jika karakteristiknya cukup menyerupai populasi. Dalam data numerik, kemiripan dapat dilihat dari bentuk distribusi, pusat data, dan sebaran data.

Sampel besar belum tentu representatif. Misalnya survei hanya dilakukan kepada teman satu kelas untuk menebak pilihan seluruh siswa sekolah. Jumlah responden bisa banyak, tetapi hasilnya tetap berat sebelah karena tidak mewakili kelas lain.

8. Sampel Acak dan Bias

Sampel acak berarti setiap anggota populasi memiliki kesempatan yang sama atau cara yang adil untuk terpilih. Pemilihan acak membantu mengurangi bias, yaitu kecenderungan hasil sampel menyimpang karena cara memilihnya tidak netral.

Contoh cara yang lebih adil:

memakai undian nomor siswa;
memakai generator bilangan acak;
memilih dari daftar populasi lengkap dengan aturan acak.

Contoh cara yang bias:

hanya memilih teman dekat;
hanya bertanya kepada orang yang mudah ditemui;
hanya mengambil data dari satu kelompok yang punya ciri khusus.

9. Ringkasan Rumus dan Ide

Konsep	Ringkasan
Ruang sampel	Semua hasil yang mungkin terjadi
Kejadian	Hasil-hasil yang memenuhi syarat tertentu
Peluang teoretis	$P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}$
Frekuensi relatif	$\frac{\text{banyak kejadian terjadi}}{\text{banyak percobaan}}$
Frekuensi harapan	$P(A) \times \text{banyak percobaan}$
Populasi	Seluruh objek/orang yang diteliti
Sampel	Sebagian anggota populasi
Representatif	Sampel menyerupai populasi
Acak	Pemilihan dilakukan dengan kesempatan yang adil