Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering menghadapi dua informasi yang saling berkaitan. Misalnya, jumlah tiket dewasa dan anak-anak menentukan total pengunjung sekaligus total pendapatan. Harga dua jenis barang menentukan total belanja. Dua kendaraan yang bergerak dari tempat yang sama dapat bertemu pada waktu dan jarak tertentu.

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel, atau SPLDV, membantu kita menuliskan situasi seperti itu dalam dua persamaan. Setelah model matematika terbentuk, kita dapat mencari pasangan nilai yang memenuhi kedua persamaan sekaligus.

Pada bab ini, kamu akan belajar:

• mengenali persamaan linear dua variabel dalam bentuk $ax + by = c$;
• memahami bahwa penyelesaian SPLDV adalah pasangan nilai $(x, y)$ yang memenuhi dua persamaan;
• menentukan penyelesaian dengan metode grafik;
• menentukan penyelesaian dengan metode substitusi;
• menentukan penyelesaian dengan metode eliminasi dan metode campuran;
• memodelkan masalah perdagangan, investasi, dan kecepatan ke dalam SPLDV.

Pertanyaan utama bab ini: bagaimana dua informasi berbeda dapat dipakai bersama untuk menemukan dua nilai yang belum diketahui?

Teori Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

1. Dari Persamaan Linear Dua Variabel ke SPLDV

Persamaan linear dua variabel adalah persamaan yang memuat dua variabel dan dapat ditulis dalam bentuk:

Pada bentuk tersebut, $x$ dan $y$ adalah variabel, sedangkan $a$, $b$, dan $c$ adalah bilangan. Koefisien $a$ dan $b$ tidak boleh sama-sama $0$.

Contoh:

Persamaan itu memiliki banyak penyelesaian. Misalnya $(3, 4)$ memenuhi persamaan karena:

SPLDV terbentuk ketika ada dua persamaan linear dua variabel yang saling berkaitan. Bentuk umumnya dapat ditulis:

Penyelesaian SPLDV adalah pasangan nilai $(x, y)$ yang membuat kedua persamaan benar sekaligus.

2. Memodelkan Situasi ke Bentuk SPLDV

Langkah penting dalam SPLDV bukan hanya menghitung, tetapi juga menerjemahkan cerita menjadi model matematika.

Misalnya harga $2$ buku tulis dan $3$ bolpoin adalah Rp$21.000{,}00$. Harga $4$ buku tulis dan $1$ bolpoin adalah Rp$23.000{,}00$.

Misalkan:

• $x$ adalah harga $1$ buku tulis;
• $y$ adalah harga $1$ bolpoin.

Model SPLDV-nya:

Dalam soal kontekstual, pastikan variabel, satuan, dan makna jawaban ditulis jelas. Jika $x = 6.000$ dan $y = 3.000$, maka artinya harga $1$ buku tulis Rp$6.000{,}00$ dan harga $1$ bolpoin Rp$3.000{,}00$, bukan sekadar pasangan angka.

3. Metode Grafik

Setiap persamaan linear dua variabel dapat digambarkan sebagai garis lurus. Pada metode grafik, penyelesaian SPLDV adalah titik potong kedua garis.

Contoh:

Garis pertama memuat titik-titik yang memenuhi $x + y = 6$. Garis kedua memuat titik-titik yang memenuhi $2x - y = 3$. Jika kedua garis berpotongan di titik $(3, 3)$, maka:

dan

Jadi, penyelesaiannya adalah $(3, 3)$.

Kemungkinan bentuk grafik SPLDV:

Hubungan Dua Garis	Banyak Penyelesaian	Makna
Berpotongan di satu titik	$1$	Ada satu pasangan $(x, y)$ yang memenuhi keduanya.
Sejajar	$0$	Tidak ada pasangan yang memenuhi keduanya.
Berimpit	Tak hingga	Semua titik pada garis memenuhi keduanya.

4. Metode Substitusi

Metode substitusi digunakan dengan cara menyatakan satu variabel dalam bentuk variabel lain, lalu menggantikannya ke persamaan kedua.

Contoh:

Dari persamaan pertama:

Substitusikan ke persamaan kedua:

Substitusikan $y = 4$ ke $x + y = 10$:

Jadi, penyelesaiannya adalah $(6, 4)$.

5. Metode Eliminasi

Metode eliminasi digunakan dengan cara menghilangkan salah satu variabel agar variabel lain dapat ditemukan.

Contoh:

Karena koefisien $y$ sudah sama, kurangkan persamaan pertama dengan persamaan kedua:

Substitusikan $x = 6$ ke $x + 2y = 13$:

Jadi, penyelesaiannya adalah $(6, 3{,}5)$.

6. Metode Campuran

Metode campuran menggabungkan eliminasi dan substitusi. Biasanya, eliminasi dipakai lebih dulu untuk menemukan salah satu variabel, lalu substitusi dipakai untuk menemukan variabel yang lain.

Contoh:

Kalikan persamaan kedua dengan $5$ agar koefisien $y$ dapat dieliminasi:

Jumlahkan dengan persamaan pertama:

Substitusikan $x = 4$ ke persamaan kedua:

Jadi, penyelesaiannya adalah $(4, 3)$. Pada metode campuran, eliminasi membantu menemukan satu variabel dengan cepat, lalu substitusi menyelesaikan variabel lainnya.

7. Memilih Metode yang Efisien

Tidak ada satu metode yang selalu paling cepat. Pilih metode berdasarkan bentuk persamaan.

Bentuk Sistem	Metode yang Biasanya Efisien
Ada persamaan seperti $x + y = 10$ atau $y = 2x + 1$	Substitusi
Koefisien salah satu variabel sudah sama atau berlawanan	Eliminasi
Ingin memahami makna titik potong atau banyak penyelesaian	Grafik
Soal kontekstual dengan koefisien perlu disamakan dulu	Campuran

8. Contoh Kontekstual: Tiket Pertunjukan

Sebuah pertunjukan menjual tiket dewasa dan tiket pelajar. Jumlah tiket yang terjual adalah $120$. Pendapatan total adalah Rp$4.800.000{,}00$. Harga tiket dewasa Rp$50.000{,}00$ dan tiket pelajar Rp$30.000{,}00$.

Misalkan:

• $x$ adalah banyak tiket dewasa;
• $y$ adalah banyak tiket pelajar.

Model SPLDV:

Sederhanakan persamaan kedua dengan membagi semua suku oleh $10.000$:

Dari $x + y = 120$, diperoleh $x = 120 - y$.

Substitusi:

Maka:

Jadi, tiket dewasa yang terjual adalah $60$ lembar dan tiket pelajar yang terjual adalah $60$ lembar.

9. Kesalahan yang Sering Terjadi

Beberapa kesalahan yang perlu dihindari:

• Lupa mendefinisikan arti variabel $x$ dan $y$.
• Menganggap penyelesaian PLDV hanya satu, padahal satu persamaan linear dua variabel memiliki banyak penyelesaian.
• Mengurangkan dua persamaan tanpa memperhatikan tanda negatif.
• Menuliskan jawaban hanya sebagai angka, tanpa kembali ke konteks.
• Salah menafsirkan grafik sejajar dan grafik berimpit.

SPLDV bukan sekadar teknik hitung. Tujuan utamanya adalah menggunakan dua informasi untuk menemukan dua nilai yang belum diketahui secara masuk akal.