Transformasi Geometri

Transformasi Geometri

Transformasi geometri membahas cara memindahkan atau mengubah bangun pada bidang koordinat. Bangun dapat digeser, dicerminkan, diputar, atau diperbesar dan diperkecil dengan aturan tertentu.

Pada bab ini, kamu akan banyak memakai titik koordinat. Misalnya titik $A(2,3)$ dapat berubah menjadi $A'(5,1)$ setelah dikenai sebuah transformasi. Tanda petik pada $A'$ dibaca "A aksen" dan menunjukkan bayangan dari titik awal $A$.

Gambar: satu bangun dapat digeser, dicerminkan, diputar, atau diubah ukurannya dengan aturan yang berbeda.

Pertanyaan awal:

• Jika semua titik sebuah segitiga digeser $3$ satuan ke kanan, apakah bentuknya berubah?
• Mengapa bayangan di cermin tampak terbalik kiri-kanan?
• Apa yang berubah ketika sebuah bangun diputar $90^\circ$ terhadap titik pusat?
• Jika ukuran sebuah bangun diperbesar dua kali dari titik pusat, apakah luasnya juga dua kali?

Dalam bab ini kamu akan belajar:

• menentukan bayangan titik dan bangun oleh translasi;
• menentukan bayangan titik dan bangun oleh refleksi terhadap sumbu, titik pusat, dan garis sederhana;
• menentukan bayangan titik dan bangun oleh rotasi $90^\circ$, $180^\circ$, dan $270^\circ$ terhadap titik pusat $O(0,0)$;
• menentukan bayangan titik dan bangun oleh dilatasi dengan faktor skala;
• membedakan transformasi kaku dan transformasi yang mengubah ukuran;
• menggunakan transformasi untuk menjelaskan kongruensi dan kesebangunan sederhana.

Gunakan tab Teori untuk memahami aturan, tab Soal untuk latihan bertahap, tab Jawaban untuk mengecek pembahasan, dan tab Soal+ untuk latihan interaktif per-butir.

Teori - Transformasi Geometri

1. Titik Awal dan Titik Bayangan

Transformasi geometri adalah aturan yang mengubah posisi atau ukuran objek geometri. Objek awal disebut pra-bayangan, sedangkan hasilnya disebut bayangan.

Jika titik $A(2,3)$ berubah menjadi $A'(5,1)$, maka:

• $A$ adalah titik awal;
• $A'$ adalah titik bayangan;
• aturan transformasi menjelaskan mengapa koordinatnya berubah dari $(2,3)$ menjadi $(5,1)$.

Pada bidang Kartesius, setiap transformasi dapat dipelajari lewat perubahan koordinat. Setelah titik-titik sudut suatu bangun berubah, hubungkan titik bayangannya untuk mendapatkan bangun hasil transformasi.

2. Translasi

Translasi adalah pergeseran semua titik dengan jarak dan arah yang sama. Bentuk dan ukuran bangun tidak berubah.

Jika titik $A(x,y)$ ditranslasikan oleh vektor $(a,b)$, maka bayangannya adalah:

Arti vektor $(a,b)$:

• $a>0$: geser ke kanan, $a<0$: geser ke kiri;
• $b>0$: geser ke atas, $b<0$: geser ke bawah.

Gambar: setiap titik segitiga bergeser dengan arah dan jarak yang sama.

Contoh:

Titik $P(-2,4)$ ditranslasikan oleh $(5,-3)$.

3. Refleksi

Refleksi adalah pencerminan terhadap garis atau titik tertentu. Refleksi mempertahankan bentuk dan ukuran, tetapi arah bangun dapat terbalik.

Aturan penting pada bidang Kartesius:

Refleksi	Bayangan titik $P(x,y)$
terhadap sumbu $x$	$P'(x,-y)$
terhadap sumbu $y$	$P'(-x,y)$
terhadap titik pusat $O(0,0)$	$P'(-x,-y)$
terhadap garis $y=x$	$P'(y,x)$
terhadap garis $y=-x$	$P'(-y,-x)$
terhadap garis $x=k$	$P'(2k-x,y)$
terhadap garis $y=h$	$P'(x,2h-y)$

Gambar: jarak titik awal dan bayangannya ke garis cermin selalu sama.

Contoh:

Titik $Q(4,-2)$ direfleksikan terhadap sumbu $y$.

Koordinat $x$ berubah tanda, sedangkan koordinat $y$ tetap.

4. Rotasi

Rotasi adalah perputaran suatu objek terhadap pusat rotasi dengan besar sudut dan arah tertentu. Pada kelas IX, rotasi yang paling sering digunakan adalah rotasi terhadap titik pusat $O(0,0)$.

Aturan rotasi terhadap $O(0,0)$:

Rotasi	Bayangan titik $P(x,y)$
$90^\circ$ berlawanan arah jarum jam	$P'(-y,x)$
$90^\circ$ searah jarum jam	$P'(y,-x)$
$180^\circ$	$P'(-x,-y)$
$270^\circ$ berlawanan arah jarum jam	$P'(y,-x)$

Gambar: rotasi mengubah arah bangun, tetapi tidak mengubah panjang sisi dan besar sudut.

Contoh:

Titik $R(3,5)$ dirotasikan $90^\circ$ berlawanan arah jarum jam terhadap $O(0,0)$.

5. Transformasi Kaku dan Kongruensi

Translasi, refleksi, dan rotasi disebut transformasi kaku karena tidak mengubah ukuran dan bentuk bangun. Panjang sisi dan besar sudut tetap sama.

Jika satu bangun dapat dipindahkan agar tepat menutupi bangun lain melalui translasi, refleksi, rotasi, atau gabungannya, maka kedua bangun itu kongruen.

Hal yang boleh berubah pada transformasi kaku:

• posisi bangun;
• arah hadap bangun;
• letak titik-titik pada bidang koordinat.

Hal yang tidak berubah:

• panjang sisi;
• besar sudut;
• luas;
• bentuk dasar bangun.

6. Dilatasi

Dilatasi adalah pembesaran atau pengecilan bangun terhadap pusat dilatasi dengan faktor skala $k$. Dilatasi biasanya mengubah ukuran bangun.

Untuk pusat $O(0,0)$, jika titik $A(x,y)$ didilatasikan dengan faktor skala $k$, maka:

Makna faktor skala:

• $k>1$: bangun diperbesar;
• $0<k<1$: bangun diperkecil;
• $k=1$: ukuran tetap;
• $k<0$: bangun berubah ukuran sekaligus berbalik arah terhadap pusat.

Gambar: jarak setiap titik bayangan dari pusat dilatasi menjadi $k$ kali jarak awalnya.

Contoh:

Titik $S(-2,3)$ didilatasikan terhadap $O(0,0)$ dengan faktor skala $2$.

Untuk pusat selain $O(0,0)$, misalnya $P(a,b)$, rumusnya:

Rumus ini dapat dipahami sebagai: ukur posisi titik dari pusat dilatasi, kalikan dengan faktor skala, lalu kembalikan ke posisi pusat semula.

7. Komposisi Transformasi

Kadang sebuah bangun dikenai lebih dari satu transformasi. Misalnya ditranslasikan dulu, lalu direfleksikan. Urutan pengerjaan penting karena hasil akhirnya bisa berbeda.

Gambar: transformasi berurutan perlu dikerjakan satu langkah demi satu langkah.

Strategi mengerjakan komposisi:

1. tulis koordinat titik awal;
2. kerjakan transformasi pertama untuk semua titik;
3. gunakan hasil langkah pertama sebagai titik awal transformasi kedua;
4. gambar atau cek bentuk bayangan akhir.

8. Ringkasan Aturan

Transformasi	Aturan utama	Bentuk dan ukuran
Translasi $(a,b)$	$(x,y) \to (x+a,y+b)$	tetap
Refleksi sumbu $x$	$(x,y) \to (x,-y)$	tetap
Refleksi sumbu $y$	$(x,y) \to (-x,y)$	tetap
Rotasi $90^\circ$ berlawanan arah jarum jam terhadap $O$	$(x,y) \to (-y,x)$	tetap
Rotasi $180^\circ$ terhadap $O$	$(x,y) \to (-x,-y)$	tetap
Dilatasi $[O,k]$	$(x,y) \to (kx,ky)$	berubah jika $k \ne 1$