Bilangan Rasional

Bilangan rasional: identifikasi, bentuk pecahan dan desimal, estimasi nilai, operasi hitung (+, -, kali, bagi), serta masalah kontekstual seperti persen, diskon, suhu, dan resep.

Tujuan Pembelajaran (6)

M-D.1Mengidentifikasi bilangan rasional dalam bentuk pecahan, desimal, persen, pecahan campuran, dan bilangan bulat.
M-D.1.1Mengenali bilangan yang tergolong rasional sekaligus menuliskannya dalam pecahan maupun desimal.
M-D.1.2Memperkirakan nilai bilangan rasional sembari membandingkannya pada garis bilangan.
M-D.1.3Melakukan taksiran terhadap hasil operasi hitung pada bilangan rasional.
M-D.1.4Mengeksekusi tambah-kurang-kali-bagi pada bilangan rasional.
M-D.1.5Memecahkan persoalan kontekstual yang memanfaatkan bilangan rasional (literasi finansial dasar, persen, diskon).

Bilangan Rasional

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat ditulis dalam bentuk pecahan $\dfrac{a}{b}$ , dengan $a$ dan $b$ bilangan bulat serta $b \neq 0$ .

Bab ini membantu kamu melihat bahwa pecahan, desimal, persen, dan bilangan campuran sering kali hanya bentuk berbeda dari nilai yang sama.

Contoh:

\frac{3}{4} = 0{,}75 = 75\%

Pengantar bilangan rasional

Gambar: bab ini membahas bentuk bilangan rasional, perbandingan, estimasi, operasi hitung, dan penggunaannya dalam konteks sehari-hari.

Dalam bab ini kamu akan belajar:

mengenali bilangan rasional;
mengubah pecahan ke desimal dan sebaliknya;
memperkirakan letak bilangan rasional pada garis bilangan;
membandingkan dan mengurutkan bilangan rasional;
melakukan operasi tambah, kurang, kali, dan bagi;
menggunakan bilangan rasional dalam konteks suhu, uang, resep, persen, dan diskon.

Gunakan tab Teori untuk memahami konsep utama, tab Soal untuk latihan, dan tab Jawaban untuk mengecek pembahasan langkah demi langkah.

Bilangan Rasional

1. Pengertian Bilangan Rasional

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat ditulis sebagai:

\frac{a}{b}

dengan $a$ dan $b$ bilangan bulat, serta $b \neq 0$ .

Syarat $b \neq 0$ penting karena pembagian dengan nol tidak terdefinisi.

Contoh bilangan rasional:

$\frac{2}{3}$
$- \frac{5}{4}$
$7 = \frac{7}{1}$
$0{,}25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$
$125\% = \frac{125}{100} = \frac{5}{4}$

Tidak semua bilangan desimal adalah bilangan rasional. Desimal yang terhenti, seperti $0{,}25$ , dan desimal yang berulang, seperti $0{,}333\ldots$ , termasuk rasional. Sebaliknya, desimal yang tidak terhenti dan tidak memiliki pola berulang, seperti nilai $\pi$ atau $\sqrt{2}$ , bukan bilangan rasional.

Peta bentuk bilangan rasional

Gambar: pecahan, desimal, dan persen dapat menyatakan bilangan rasional yang sama.

2. Bentuk-Bentuk Bilangan Rasional

Bilangan rasional dapat muncul dalam beberapa bentuk.

Bentuk	Contoh	Makna
Pecahan biasa	$\frac{3}{5}$	3 bagian dari 5 bagian sama besar
Pecahan campuran	$1\frac{2}{3}$	$1 + \frac{2}{3}$
Desimal terhenti	$0{,}75$	desimal yang berhenti
Desimal berulang	$0{,}333\ldots$	desimal yang pola angkanya berulang
Persen	$40\%$	$\frac{40}{100}$
Bilangan bulat	$-6$	sama dengan $\frac{-6}{1}$

Jadi bilangan bulat juga termasuk bilangan rasional, karena setiap bilangan bulat $n$ dapat ditulis sebagai $\frac{n}{1}$ .

3. Bilangan Rasional pada Garis Bilangan

Setiap bilangan rasional memiliki posisi pada garis bilangan. Garis bilangan membantu kita membandingkan nilai dengan melihat posisi.

Aturan penting:

Semakin ke kanan, nilai semakin besar.
Semakin ke kiri, nilai semakin kecil.
Pecahan negatif tetap lebih kecil dari nol.
Pecahan dan desimal dapat dibandingkan setelah diubah ke bentuk yang mudah dibaca.

Garis bilangan rasional

Gambar: bilangan rasional dapat ditempatkan dan dibandingkan pada garis bilangan.

Contoh:

-\frac{1}{2} < 0 < \frac{3}{4} < 1{,}25

4. Mengubah Pecahan ke Desimal

Untuk mengubah pecahan ke desimal, lakukan pembagian pembilang oleh penyebut.

Contoh desimal terhenti:

\frac{3}{8} = 3 \div 8 = 0{,}375

Contoh desimal berulang:

\frac{1}{3} = 0{,}333\ldots

Konversi pecahan ke desimal

Gambar: sebagian pecahan menghasilkan desimal terhenti, sebagian lain menghasilkan desimal berulang.

Mengapa penyebut menentukan jenis desimalnya? Desimal terhenti selalu dapat ditulis sebagai pecahan berpenyebut $10$ , $100$ , $1000$ , dan seterusnya. Penyebut seperti itu hanya tersusun dari faktor prima $2$ dan $5$ , karena $10 = 2 \times 5$ .

Jika pecahan sederhana memiliki penyebut yang hanya tersusun dari $2$ dan/atau $5$ , penyebutnya dapat diubah menjadi $10$ , $100$ , $1000$ , dan seterusnya. Akibatnya, pembagian akan selesai dan desimalnya terhenti. Sebaliknya, jika penyebut masih memiliki faktor lain seperti $3$ , $7$ , atau $11$ , sisa pembagian akan muncul berulang sehingga desimalnya berulang.

Kapan Desimal Terhenti?

Jika pecahan sudah sederhana, desimalnya akan terhenti bila faktor prima penyebutnya hanya $2$ dan/atau $5$ .

Contoh:

$\frac{1}{8}$ terhenti karena $8 = 2^3$ .
$\frac{7}{20}$ terhenti karena $20 = 2^2 \times 5$ .
$\frac{1}{6}$ tidak terhenti karena $6 = 2 \times 3$ mengandung faktor $3$ .

5. Mengubah Desimal ke Pecahan

Untuk desimal terhenti, perhatikan jumlah angka di belakang koma.

Contoh:

0{,}45 = \frac{45}{100} = \frac{9}{20}

Contoh lain:

2{,}125 = \frac{2125}{1000} = \frac{17}{8}

Jika desimalnya negatif, tandanya tetap dibawa:

-0{,}6 = -\frac{6}{10} = -\frac{3}{5}

6. Membandingkan Bilangan Rasional

Ada beberapa strategi untuk membandingkan bilangan rasional.

Strategi 1: Samakan Penyebut

Contoh:

\frac{2}{3} \quad \text{dan} \quad \frac{3}{5}

KPK dari $3$ dan $5$ adalah $15$ .

\frac{2}{3} = \frac{10}{15}

\frac{3}{5} = \frac{9}{15}

Jadi:

\frac{2}{3} > \frac{3}{5}

Strategi 2: Ubah ke Desimal

Contoh:

\frac{7}{8} = 0{,}875

Karena $0{,}875 > 0{,}8$ , maka:

\frac{7}{8} > 0{,}8

Strategi 3: Gunakan Garis Bilangan

Strategi ini sangat baik untuk estimasi. Misalnya $\frac{5}{6}$ dekat dengan $1$ , sedangkan $\frac{2}{5}$ dekat dengan $0{,}4$ .

7. Estimasi Hasil Operasi

Estimasi berarti memperkirakan hasil perhitungan sebelum menghitung secara tepat. Estimasi berguna untuk memeriksa apakah jawaban akhir masuk akal.

Contoh:

\frac{7}{8} + \frac{5}{12}

Nilai $\frac{7}{8}$ dekat dengan $1$ , sedangkan $\frac{5}{12}$ dekat dengan $\frac{1}{2}$ . Jadi hasilnya kira-kira:

1 + \frac{1}{2} = 1\frac{1}{2}

Perhitungan tepatnya:

\frac{7}{8} + \frac{5}{12} = \frac{21}{24} + \frac{10}{24} = \frac{31}{24} = 1\frac{7}{24}

Hasil tepat $1\frac{7}{24}$ memang dekat dengan taksiran $1\frac{1}{2}$ .

Estimasi hasil operasi bilangan rasional

Gambar: estimasi memberi patokan cepat, lalu perhitungan tepat dipakai untuk memastikan hasil akhir.

Estimasi juga membantu dalam situasi sehari-hari. Misalnya, jika resep membutuhkan $2\frac{3}{4}$ gelas tepung untuk satu adonan, maka untuk dua adonan diperlukan sedikit lebih dari $5$ gelas tepung. Dengan begitu, kita bisa cepat menilai apakah persediaan tepung cukup sebelum menghitung rinci.

8. Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Rasional

Untuk menjumlahkan atau mengurangkan pecahan, penyebut harus sama.

Contoh:

\frac{1}{2} + \frac{1}{3}

KPK dari $2$ dan $3$ adalah $6$ .

\frac{1}{2} = \frac{3}{6}

\frac{1}{3} = \frac{2}{6}

Maka:

\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}

Operasi pecahan dengan KPK

Gambar: pada penjumlahan pecahan, penyebut disamakan dahulu sebelum pembilang dijumlahkan.

Untuk pengurangan:

\frac{5}{6} - \frac{1}{4}

KPK dari $6$ dan $4$ adalah $12$ .

\frac{5}{6} = \frac{10}{12}

\frac{1}{4} = \frac{3}{12}

Maka:

\frac{5}{6} - \frac{1}{4} = \frac{10}{12} - \frac{3}{12} = \frac{7}{12}

9. Perkalian dan Pembagian Bilangan Rasional

Perkalian Pecahan

Untuk mengalikan pecahan, kalikan pembilang dengan pembilang dan penyebut dengan penyebut.

\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}

Contoh:

\frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}

Pembagian Pecahan

Membagi dengan pecahan sama dengan mengalikan dengan kebalikannya.

\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}

Contoh:

\frac{3}{4} \div \frac{1}{2} = \frac{3}{4} \times \frac{2}{1} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}

10. Tanda Positif dan Negatif

Bilangan rasional juga dapat bernilai negatif.

Aturan tanda pada perkalian dan pembagian sama seperti bilangan bulat:

Operasi tanda	Hasil
positif dengan positif	positif
negatif dengan negatif	positif
positif dengan negatif	negatif
negatif dengan positif	negatif

Contoh:

-\frac{2}{3} + \frac{1}{6} = -\frac{4}{6} + \frac{1}{6} = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}

11. Persen, Diskon, dan Literasi Finansial

Persen berarti per seratus.

25\% = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}

Persen sering muncul dalam diskon, bunga, untung, rugi, dan perbandingan data.

Persen dan diskon

Gambar: persen dapat diubah menjadi pecahan atau desimal untuk menghitung potongan harga.

Contoh:

Sebuah barang berharga Rp80.000 mendapat diskon $25\%$ .

Diskon:

25\% \times 80.000 = \frac{25}{100} \times 80.000 = 20.000

Harga setelah diskon:

80.000 - 20.000 = 60.000

Jadi, harga yang dibayar adalah Rp60.000.

Contoh lain dalam literasi finansial adalah nilai tukar mata uang.

Misalkan kurs jual $1$ KRW adalah Rp12,50. Jika seseorang ingin menukar Rp250.000 menjadi KRW, maka perkiraannya:

250.000 \div 12{,}50 = 20.000

Jadi, Rp250.000 setara dengan kira-kira 20.000 KRW pada kurs tersebut. Dalam masalah seperti ini, bilangan desimal dan operasi pembagian membantu kita mengambil keputusan keuangan secara lebih tepat.

12. Simulasi yang Relevan

Gunakan simulasi berikut untuk menguatkan pemahaman:

Garis Bilangan Rasional untuk menempatkan dan membandingkan pecahan/desimal.
Konverter Pecahan ke Desimal untuk memahami bentuk pecahan dan desimal.
Lab Pecahan dengan Bar Visual untuk operasi pecahan.
Termometer Untung-Rugi untuk operasi bilangan rasional bertanda.
Dapur Pecahan Campuran untuk masalah kontekstual resep dan pecahan campuran.

Ringkasan

Bilangan rasional dapat ditulis sebagai $\frac{a}{b}$ dengan $b \neq 0$ .
Pecahan, desimal, persen, pecahan campuran, dan bilangan bulat dapat menjadi bentuk bilangan rasional.
Untuk membandingkan bilangan rasional, gunakan penyebut sama, desimal, atau garis bilangan.
Estimasi membantu memperkirakan hasil operasi dan memeriksa kewajaran jawaban.
Penjumlahan dan pengurangan pecahan memerlukan penyebut sama.
Perkalian pecahan langsung mengalikan pembilang dan penyebut.
Pembagian pecahan dilakukan dengan mengalikan kebalikan pecahan pembagi.
Persen adalah bentuk rasional yang sangat sering muncul dalam konteks sehari-hari.