Bilangan Berpangkat

Bilangan berpangkat bulat positif, nol, dan negatif; sifat-sifat pangkat; notasi ilmiah; bentuk akar; operasi akar; dan rasionalisasi penyebut.

Tujuan Pembelajaran (7)

M-D.1Mengidentifikasi bilangan rasional dengan mengoperasikan bilangan rasional dalam bentuk pangkat bulat, pemfaktoran.
M-D.1.1Memaknai konsep bilangan berpangkat (eksponen bulat positif, nol, maupun negatif) beserta sifat-sifatnya.
M-D.1.2Menyelesaikan aneka operasi pada bilangan berpangkat (jumlah, kali, bagi).
M-D.1.3Menuliskan suatu bilangan ke notasi ilmiah lalu memakainya pada konteks keseharian.
M-D.3Mengidentifikasi bilangan irasional dengan mengoperasikan bilangan irasional dalam bentuk akar.
M-D.3.1Memaknai bilangan bentuk akar serta menyelesaikan operasi yang melibatkannya.
M-D.3.2Mengonversi bentuk akar agar penyebutnya bukan akar (rasionalisasi).

Bilangan Berpangkat

Bilangan berpangkat adalah cara ringkas untuk menulis perkalian berulang.

Misalnya, $3^4$ berarti $3$ dikalikan dengan dirinya sendiri sebanyak 4 faktor:

3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81

Pangkat sebagai perkalian berulang

Gambar: bilangan pokok menunjukkan bilangan yang dikalikan, sedangkan eksponen menunjukkan banyak faktor.

Pada bab ini, kamu akan belajar:

memahami bilangan berpangkat bulat positif, nol, dan negatif;
memakai sifat-sifat pangkat untuk menyederhanakan bentuk bilangan;
menulis bilangan besar dan kecil dalam notasi ilmiah;
memahami bentuk akar sebagai kebalikan dari pangkat;
menyederhanakan dan mengoperasikan bentuk akar;
merasionalkan penyebut yang memuat akar.

Gunakan tab Teori untuk memahami konsep, tab Soal untuk latihan, dan tab Jawaban untuk mengecek pembahasan.

Bilangan Berpangkat

1. Makna Bilangan Berpangkat

Bilangan berpangkat ditulis dalam bentuk:

a^n

dengan:

$a$ disebut bilangan pokok atau basis;
$n$ disebut pangkat atau eksponen.

Jika $n$ bilangan bulat positif, maka $a^n$ berarti $a$ dikalikan dengan dirinya sendiri sebanyak $n$ faktor.

Contoh:

2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32

5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125

Pangkat sebagai perkalian berulang

Gambar: pangkat menyatakan banyaknya faktor yang sama dalam perkalian berulang.

Perhatikan tanda kurung pada bilangan negatif:

(-2)^4 = (-2)(-2)(-2)(-2) = 16

Namun:

-2^4 = -(2^4) = -16

Jadi, tanda kurung dapat mengubah makna suatu bentuk berpangkat.

2. Pangkat Satu, Nol, dan Negatif

Beberapa pangkat khusus perlu dipahami dengan syaratnya.

Bentuk	Nilai	Syarat
$a^1$	$a$	berlaku untuk semua $a$
$a^0$	$1$	$a \ne 0$
$a^{-n}$	$\frac{1}{a^n}$	$a \ne 0$

Contoh:

7^1 = 7

9^0 = 1

2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}

Pangkat nol dan pangkat negatif

Gambar: pada basis 10, setiap turun satu pangkat nilainya dibagi 10.

Catatan penting:

$0^0$ tidak digunakan pada pembahasan ini;
pangkat negatif pada basis 0 tidak terdefinisi, misalnya $0^{-2}$ tidak boleh dipakai karena akan melibatkan pembagian dengan 0.

3. Sifat-sifat Pangkat

Sifat pangkat membantu menyederhanakan bentuk tanpa menghitung semua perkalian satu per satu.

Sifat-sifat pangkat

Gambar: aturan pangkat hanya boleh dipakai sesuai syarat, terutama saat basisnya sama.

Sifat	Rumus	Contoh
Perkalian basis sama	$a^m \times a^n = a^{m+n}$	$2^3 \times 2^4 = 2^7$
Pembagian basis sama	$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$	$\frac{5^6}{5^2} = 5^4$
Pangkat dari pangkat	$(a^m)^n = a^{mn}$	$(3^2)^4 = 3^8$
Pangkat pada perkalian	$(ab)^n = a^n b^n$	$(2 \times 5)^3 = 2^3 \times 5^3$
Pangkat pada pembagian	$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$	$\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$

Untuk pembagian, penyebut tidak boleh 0.

Contoh penyederhanaan:

3^2 \times 3^5 = 3^{2+5} = 3^7

\frac{10^8}{10^3} = 10^{8-3} = 10^5

(4^2)^3 = 4^{2 \times 3} = 4^6

4. Jebakan Umum pada Operasi Pangkat

Aturan pangkat tidak boleh dipakai sembarangan.

Contoh yang sering salah:

2^3 + 2^2 \ne 2^5

Yang benar:

2^3 + 2^2 = 8 + 4 = 12

Pangkat dapat dijumlahkan pada perkalian dengan basis sama, bukan pada penjumlahan biasa.

Contoh lain:

3^2 \times 4^2 = (3 \times 4)^2 = 12^2

karena pangkatnya sama.

Namun:

3^2 \times 4^5

tidak dapat langsung digabung menjadi $(3 \times 4)^7$ .

5. Notasi Ilmiah

Notasi ilmiah digunakan untuk menulis bilangan sangat besar atau sangat kecil secara ringkas.

Bentuk umum notasi ilmiah:

a \times 10^n

dengan:

1 \le a < 10

dan $n$ adalah bilangan bulat.

Notasi ilmiah

Gambar: notasi ilmiah membuat bilangan sangat besar dan sangat kecil lebih mudah dibaca.

Contoh bilangan besar:

6.020.000 = 6{,}02 \times 10^6

Contoh bilangan kecil:

0{,}00045 = 4{,}5 \times 10^{-4}

Cara cepat:

jika koma digeser ke kiri, pangkat 10 bernilai positif;
jika koma digeser ke kanan, pangkat 10 bernilai negatif;
angka depan harus berada dari 1 sampai kurang dari 10.

Contoh bukan notasi ilmiah yang benar:

45 \times 10^3

karena $45$ tidak memenuhi $1 \le a < 10$ .

Bentuk yang benar:

45 \times 10^3 = 4{,}5 \times 10^4

6. Bentuk Akar

Akar kuadrat adalah kebalikan dari pangkat dua.

Contoh:

\sqrt{49} = 7

karena:

7^2 = 49

Tidak semua akar menghasilkan bilangan bulat.

Contoh:

\sqrt{2},\quad \sqrt{3},\quad \sqrt{5}

adalah bentuk akar yang tidak dapat disederhanakan menjadi bilangan bulat.

Bentuk akar dan rasionalisasi

Gambar: bentuk akar dapat disederhanakan dan penyebut akar dapat dirasionalkan.

7. Menyederhanakan Bentuk Akar

Untuk menyederhanakan akar, carilah faktor kuadrat sempurna.

Bilangan kuadrat sempurna:

1,\ 4,\ 9,\ 16,\ 25,\ 36,\ 49,\ 64,\ 81,\ 100,\ldots

Contoh:

\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2}

Karena $\sqrt{25} = 5$ , maka:

\sqrt{50} = 5\sqrt{2}

Contoh lain:

\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2}

\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5}

8. Operasi Bentuk Akar

Penjumlahan dan Pengurangan

Bentuk akar hanya dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika akar sejenis.

Contoh:

3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{2}

7\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 5\sqrt{3}

Namun:

\sqrt{2} + \sqrt{3}

tidak dapat disederhanakan menjadi $\sqrt{5}$ .

Perkalian

Untuk $a \ge 0$ dan $b \ge 0$ :

\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}

Contoh:

\sqrt{3} \times \sqrt{12} = \sqrt{36} = 6

Contoh dengan koefisien:

2\sqrt{5} \times 3\sqrt{2} = 6\sqrt{10}

Pembagian

Untuk $a \ge 0$ dan $b > 0$ :

\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}

Contoh:

\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}} = \sqrt{9} = 3

9. Rasionalisasi Penyebut

Rasionalisasi penyebut adalah mengubah bentuk pecahan agar penyebutnya tidak memuat akar.

Contoh:

\frac{1}{\sqrt{3}}

Kalikan pembilang dan penyebut dengan $\sqrt{3}$ :

\frac{1}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}

Nilainya tetap sama karena kita mengalikan dengan bentuk yang nilainya 1.

Contoh lain:

\frac{5}{2\sqrt{3}}

Kalikan pembilang dan penyebut dengan $\sqrt{3}$ :

\frac{5}{2\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{6}

10. Simulasi yang Relevan

Gunakan simulasi berikut untuk menguatkan pemahaman:

Bilangan Berpangkat untuk melihat pangkat positif, nol, negatif, dan aturan pangkat.
Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar untuk latihan hubungan pangkat, bentuk akar, operasi akar, dan rasionalisasi.

Ringkasan

$a^n$ berarti perkalian berulang jika $n$ bilangan bulat positif.
$a^0 = 1$ untuk $a \ne 0$ .
$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ untuk $a \ne 0$ .
Pangkat dijumlahkan pada perkalian dengan basis sama, bukan pada penjumlahan biasa.
Notasi ilmiah berbentuk $a \times 10^n$ dengan $1 \le a < 10$ .
Bentuk akar dapat disederhanakan dengan mencari faktor kuadrat sempurna.
Bentuk akar sejenis dapat dijumlahkan atau dikurangkan.
Rasionalisasi penyebut menghilangkan akar dari penyebut pecahan tanpa mengubah nilai pecahan.