Persamaan Garis Lurus

Persamaan garis lurus: koordinat Cartesius, menggambar garis dari persamaan, gradien (kemiringan), bentuk-bentuk persamaan (titik-gradien, dua titik, slope-intercept), hubungan dua garis.

Tujuan Pembelajaran (6)

M-D.7Memahami persamaan garis lurus dan menyajikan dalam grafik.
M-D.7.1Memaknai ekspresi persamaan linier sekaligus menggambar bidang koordinat Cartesius.
M-D.7.2Memvisualisasikan garis lurus di bidang Cartesius berbasis ekspresi persamaannya.
M-D.7.3Memaknai konsep gradien (kemiringan) sekaligus menentukan persamaan linier dari informasi yang diberikan.
M-D.7.4Memaknai ragam ekspresi persamaan garis (titik-gradien, dua titik, slope-intercept).
M-D.7.5Menentukan solusi suatu persamaan linier sembari mengkaji hubungan dua garis (sejajar, berpotongan, tegak lurus).

Persamaan Garis Lurus

Jalan menanjak, tangga, lintasan pesawat saat mendarat, biaya taksi, dan nilai barang yang menyusut dapat dimodelkan dengan garis lurus. Ketika suatu perubahan terjadi secara tetap, hubungan antara dua besaran sering dapat ditulis sebagai persamaan linier.

Ilustrasi kemiringan jalan dan grafik garis lurus

Gambar: kemiringan jalan dapat dibaca sebagai perubahan vertikal dibanding perubahan horizontal, lalu dinyatakan dengan garis pada bidang koordinat.

Pada bab ini, kamu akan belajar membaca garis lurus dari beberapa sudut pandang: tabel nilai, grafik, gradien, titik potong, dan persamaannya. Ide utamanya adalah bahwa satu garis dapat memuat banyak pasangan nilai $(x,y)$ yang semuanya memenuhi persamaan yang sama.

Bab ini membahas:

koordinat Cartesius dan titik pada bidang;
cara menggambar grafik persamaan garis lurus;
arti gradien sebagai ukuran kemiringan;
bentuk persamaan garis $y = mx + c$ ;
persamaan garis dari gradien dan satu titik;
persamaan garis dari dua titik;
hubungan garis sejajar, berpotongan, dan tegak lurus;
penggunaan persamaan garis lurus dalam masalah kontekstual.

Gunakan tab Teori untuk memahami konsep, tab Soal untuk berlatih, dan tab Jawaban untuk mengecek langkah pembahasan.

Persamaan Garis Lurus

1. Ide Dasar Persamaan Garis Lurus

Persamaan garis lurus adalah persamaan yang grafik semua penyelesaiannya membentuk satu garis lurus pada bidang koordinat. Pada tingkat SMP, bentuk yang paling sering dipakai adalah:

y = mx + c

Pada bentuk ini:

$x$ dan $y$ adalah variabel;
$m$ adalah gradien atau kemiringan garis;
$c$ adalah titik potong garis dengan sumbu- $y$ .

Peta konsep persamaan garis lurus

Gambar: persamaan garis lurus menghubungkan tabel nilai, grafik, gradien, bentuk persamaan, dan masalah kontekstual.

Contoh:

y = 2x + 1

Jika $x = 0$ , maka $y = 1$ . Jika $x = 1$ , maka $y = 3$ . Jika $x = 2$ , maka $y = 5$ . Pasangan $(0,1)$ , $(1,3)$ , dan $(2,5)$ berada pada satu garis yang sama.

2. Koordinat Cartesius

Bidang koordinat Cartesius mempunyai dua sumbu:

sumbu- $x$ mendatar;
sumbu- $y$ tegak.

Titik ditulis sebagai pasangan berurutan $(x,y)$ . Angka pertama menunjukkan posisi mendatar, sedangkan angka kedua menunjukkan posisi tegak.

Bidang koordinat dan titik pada garis

Gambar: titik-titik pada bidang koordinat dapat dihubungkan untuk melihat apakah membentuk garis lurus.

Contoh titik $(3,2)$ berarti bergerak $3$ satuan ke kanan dari titik asal, lalu $2$ satuan ke atas.

3. Menggambar Garis dari Persamaan

Untuk menggambar garis dari persamaan, salah satu cara paling aman adalah membuat tabel nilai.

Misalkan:

y = 2x + 1

Pilih beberapa nilai $x$ , lalu hitung nilai $y$ .

$x$	$y = 2x + 1$	Titik
$-1$	$-1$	$(-1,-1)$
$0$	$1$	$(0,1)$
$1$	$3$	$(1,3)$
$2$	$5$	$(2,5)$

Setelah titik-titik itu digambar pada bidang koordinat, hubungkan titik-titiknya. Karena persamaannya linier, titik-titik tersebut terletak pada satu garis lurus.

Dari tabel nilai ke grafik garis

Gambar: tabel nilai membantu menentukan titik-titik yang kemudian membentuk grafik garis lurus.

Titik Potong Sumbu

Titik potong dengan sumbu- $y$ diperoleh saat $x = 0$ .

Titik potong dengan sumbu- $x$ diperoleh saat $y = 0$ .

Contoh:

y = -2x + 6

Titik potong sumbu- $y$ :

x = 0 \Rightarrow y = 6

Jadi, titiknya $(0,6)$ .

Titik potong sumbu- $x$ :

0 = -2x + 6

2x = 6

x = 3

Jadi, titiknya $(3,0)$ .

4. Gradien sebagai Kemiringan

Gradien menunjukkan seberapa miring suatu garis. Jika garis melalui dua titik $(x_1,y_1)$ dan $(x_2,y_2)$ , gradiennya adalah:

m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}

Syaratnya, $x_2 \ne x_1$ .

Gradien sebagai perubahan naik dan maju

Gambar: gradien membandingkan perubahan vertikal dengan perubahan horizontal.

Contoh: garis melalui titik $(1,2)$ dan $(4,8)$ . Maka:

m = \frac{8-2}{4-1}

m = \frac{6}{3} = 2

Artinya, setiap $x$ bertambah $1$ , nilai $y$ bertambah $2$ .

Makna Tanda Gradien

Gradien	Bentuk garis	Makna
$m > 0$	naik ke kanan	$y$ bertambah saat $x$ bertambah
$m < 0$	turun ke kanan	$y$ berkurang saat $x$ bertambah
$m = 0$	mendatar	nilai $y$ tetap
tidak terdefinisi	tegak	nilai $x$ tetap

5. Bentuk Persamaan Garis

Ada beberapa bentuk persamaan garis lurus yang sering digunakan.

Bentuk-bentuk persamaan garis lurus

Gambar: informasi yang diketahui menentukan bentuk persamaan garis yang paling nyaman dipakai.

Bentuk Gradien dan Titik Potong

y = mx + c

Bentuk ini langsung menunjukkan gradien $m$ dan titik potong sumbu- $y$ di $(0,c)$ .

Contoh:

y = 3x - 4

Gradiennya $3$ dan titik potong sumbu- $y$ adalah $(0,-4)$ .

Bentuk Titik-Gradien

Jika diketahui satu titik $(x_1,y_1)$ dan gradien $m$ , gunakan:

y-y_1 = m(x-x_1)

Contoh: garis melalui $(2,5)$ dengan gradien $3$ .

y-5 = 3(x-2)

y-5 = 3x-6

y = 3x-1

Bentuk Dua Titik

Jika diketahui dua titik, cari gradien terlebih dahulu, lalu gunakan bentuk titik-gradien.

Contoh: garis melalui $(1,4)$ dan $(3,8)$ .

Gradien:

m = \frac{8-4}{3-1} = \frac{4}{2} = 2

Gunakan titik $(1,4)$ :

y-4 = 2(x-1)

y-4 = 2x-2

y = 2x+2

6. Garis Sejajar, Berpotongan, dan Tegak Lurus

Dua garis dapat dibandingkan melalui gradiennya.

Hubungan dua garis dari gradiennya

Gambar: garis sejajar memiliki kemiringan sama, sedangkan garis tegak lurus saling membentuk sudut siku-siku.

Misalkan garis pertama memiliki gradien $m_1$ , dan garis kedua memiliki gradien $m_2$ .

Hubungan garis	Syarat gradien
sejajar	$m_1 = m_2$
berpotongan	$m_1 \ne m_2$
tegak lurus	$m_1 \times m_2 = -1$

Contoh:

Garis $g$ memiliki gradien $2$ . Garis yang sejajar dengan $g$ juga memiliki gradien $2$ .

Garis yang tegak lurus dengan $g$ memiliki gradien:

m = -\frac{1}{2}

karena:

2 \times \left(-\frac{1}{2}\right) = -1

7. Model Kontekstual Garis Lurus

Persamaan garis lurus sering muncul ketika perubahan terjadi dengan laju tetap.

Model kontekstual garis lurus

Gambar: nilai yang berubah tetap setiap periode dapat dimodelkan sebagai garis lurus.

Contoh: sebuah tabungan mula-mula berisi Rp $50.000$ . Setiap minggu ditambah Rp $10.000$ . Jika banyak minggu dinyatakan dengan $x$ dan jumlah tabungan dinyatakan dengan $y$ , maka:

y = 10.000x + 50.000

Gradien $10.000$ bermakna tabungan bertambah Rp $10.000$ setiap minggu. Titik potong sumbu- $y$ adalah $50.000$ , yaitu jumlah awal saat $x = 0$ .

Contoh lain: nilai suatu alat mula-mula Rp $2.000.000$ dan turun Rp $150.000$ setiap tahun. Jika umur alat $x$ tahun dan nilai alat $y$ , maka:

y = -150.000x + 2.000.000

Gradien negatif menunjukkan bahwa nilai alat berkurang setiap tahun.

8. Ringkasan

Hal penting dalam persamaan garis lurus:

Grafik persamaan linier berbentuk garis lurus.
Bentuk $y = mx + c$ menunjukkan gradien $m$ dan titik potong sumbu- $y$ di $(0,c)$ .
Gradien dua titik adalah $m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ .
Jika diketahui titik dan gradien, gunakan $y-y_1 = m(x-x_1)$ .
Garis sejajar memiliki gradien sama.
Garis tegak lurus memiliki hasil kali gradien $-1$ .