Persamaan Linier dan Pertidaksamaan Linier Satu Variabel

Persamaan Linier dan Pertidaksamaan Linier Satu Variabel

Persamaan dan pertidaksamaan satu variabel membantu kita mencari nilai yang belum diketahui dari sebuah situasi.

Contoh persamaan:

Artinya, kita mencari nilai $x$ yang membuat kedua sisi bernilai sama. Nilai yang cocok adalah $x = 7$.

Gambar: persamaan dapat dibayangkan seperti timbangan. Operasi yang sama harus dilakukan pada kedua sisi.

Contoh pertidaksamaan:

Artinya, kita mencari semua nilai $x$ yang membuat sisi kiri lebih besar dari $10$. Penyelesaiannya bukan satu angka saja, tetapi kumpulan nilai.

Dalam bab ini kamu akan belajar:

• membedakan kalimat tertutup dan kalimat terbuka;
• memahami persamaan linier satu variabel (PLSV);
• memahami pertidaksamaan linier satu variabel (PtLSV);
• memodelkan soal cerita menjadi persamaan atau pertidaksamaan;
• menyelesaikan PLSV/PtLSV dengan aturan penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian;
• menggambarkan penyelesaian pertidaksamaan pada garis bilangan;
• memeriksa kembali apakah jawaban masuk akal dalam konteks masalah.

Gunakan tab Teori untuk memahami konsep, tab Soal untuk latihan, dan tab Jawaban untuk mengecek pembahasan langkah demi langkah.

Teori - PLSV dan PtLSV

1. Kalimat Tertutup dan Kalimat Terbuka

Dalam matematika, sebuah kalimat dapat bernilai benar atau salah.

Kalimat tertutup adalah kalimat yang nilai kebenarannya sudah jelas.

Contoh:

• $4 + 5 = 9$ benar.
• $12 < 7$ salah.

Kalimat terbuka adalah kalimat yang memuat variabel, sehingga kebenarannya bergantung pada nilai variabel.

Contoh:

Kalimat ini benar jika $x = 7$, tetapi salah jika $x = 5$.

2. Persamaan Linier Satu Variabel (PLSV)

PLSV adalah persamaan yang:

• memiliki satu variabel;
• pangkat variabelnya satu;
• menggunakan tanda sama dengan.

Contoh:

Bentuk umum sederhana PLSV dapat ditulis:

dengan $a \ne 0$. Variabelnya boleh muncul di satu sisi atau di dua sisi, selama setelah disederhanakan variabelnya tetap berpangkat satu.

Contoh lain:

Persamaan ini tetap PLSV karena hanya memuat satu variabel, yaitu $x$, dan pangkat $x$ adalah satu.

Tujuan menyelesaikan PLSV adalah mencari nilai variabel yang membuat persamaan benar.

Gambar: selama operasi yang sama dilakukan pada kedua sisi, persamaan tetap setara.

3. Aturan Menyelesaikan PLSV

Prinsip utama PLSV adalah menjaga kedua sisi tetap seimbang.

Jika kita:

• menambah suatu bilangan di sisi kiri, tambahkan juga di sisi kanan;
• mengurangi suatu bilangan di sisi kiri, kurangi juga di sisi kanan;
• mengalikan sisi kiri dengan suatu bilangan bukan nol, kalikan juga sisi kanan;
• membagi sisi kiri dengan suatu bilangan bukan nol, bagi juga sisi kanan.

Contoh:

Kurangi kedua sisi dengan $5$:

Bagi kedua sisi dengan $2$:

4. Memeriksa Jawaban

Jawaban PLSV sebaiknya dicek dengan substitusi.

Untuk $2x + 5 = 17$, jika $x = 6$:

Karena sisi kiri sama dengan sisi kanan, maka $x = 6$ benar.

5. Pertidaksamaan Linier Satu Variabel (PtLSV)

PtLSV mirip dengan PLSV, tetapi memakai tanda pertidaksamaan:

• $<$ artinya kurang dari;
• $>$ artinya lebih dari;
• $\le$ artinya kurang dari atau sama dengan;
• $\ge$ artinya lebih dari atau sama dengan.

Contoh:

Kurangi kedua sisi dengan $3$:

Penyelesaiannya adalah semua bilangan yang lebih besar dari $7$.

Bentuk umum sederhana PtLSV dapat ditulis:

atau memakai tanda $>$, $\le$, atau $\ge$, dengan $a \ne 0$.

Berbeda dari PLSV yang biasanya memiliki satu nilai penyelesaian, PtLSV sering memiliki banyak nilai penyelesaian. Kumpulan semua nilai yang memenuhi pertidaksamaan disebut himpunan penyelesaian.

Untuk contoh $x > 7$, himpunan penyelesaiannya adalah semua bilangan yang lebih besar dari $7$.

6. Menggambar Penyelesaian PtLSV

Pertidaksamaan sering digambarkan pada garis bilangan.

Aturan umum:

• lingkaran kosong berarti titik batas tidak ikut, misalnya $x > 0$ atau $x < 0$;
• lingkaran penuh berarti titik batas ikut, misalnya $x \ge 0$ atau $x \le 0$;
• arsiran ke kanan berarti nilai lebih besar;
• arsiran ke kiri berarti nilai lebih kecil.

7. Tanda Berbalik Saat Dikali atau Dibagi Bilangan Negatif

Ini aturan penting pada pertidaksamaan:

Jika kedua sisi pertidaksamaan dikalikan atau dibagi dengan bilangan negatif, tanda pertidaksamaan harus dibalik.

Contoh:

Bagi kedua sisi dengan $-2$. Karena membagi dengan bilangan negatif, tanda $>$ berubah menjadi $<$.

8. Memodelkan Soal Cerita

Langkah umum:

1. Tentukan variabel.
2. Terjemahkan informasi menjadi persamaan atau pertidaksamaan.
3. Selesaikan model matematika.
4. Tafsirkan jawaban dalam konteks soal.

Contoh:

Harga $3$ buku dan ongkir Rp5.000 adalah Rp26.000. Jika harga satu buku $x$, maka:

Kurangi $5000$:

Bagi $3$:

Jadi, harga satu buku Rp7.000.

Contoh pertidaksamaan:

Seorang siswa memiliki uang Rp50.000. Ia ingin membeli beberapa buku tulis seharga Rp8.000 per buku dan harus menyisakan minimal Rp10.000. Jika banyak buku adalah $b$, maka:

Kurangi $10000$:

Bagi $8000$:

Karena banyak buku harus bilangan cacah, siswa dapat membeli paling banyak $5$ buku.

Ringkasan

• Kalimat terbuka memuat variabel.
• Bentuk umum sederhana PLSV adalah $ax + b = c$ dengan $a \ne 0$.
• PLSV memakai tanda $=$ dan biasanya memiliki satu solusi.
• Bentuk umum sederhana PtLSV dapat memakai $<$, $>$, $\le$, atau $\ge$.
• PtLSV memakai tanda $<$, $>$, $\le$, atau $\ge$ dan biasanya memiliki banyak solusi.
• Himpunan penyelesaian adalah kumpulan semua nilai yang membuat kalimat terbuka bernilai benar.
• Operasi yang sama boleh dilakukan pada kedua sisi.
• Pada pertidaksamaan, tanda harus dibalik jika kedua sisi dikali atau dibagi bilangan negatif.
• Soal cerita perlu diterjemahkan menjadi model matematika sebelum diselesaikan.