Relasi dan Fungsi

Relasi dan Fungsi

Relasi dan fungsi membantu kita membaca hubungan antara dua kelompok data. Misalnya, siswa dengan kegiatan yang dipilih, barang dengan harga, bilangan dengan hasil operasinya, atau waktu dengan jarak tempuh.

Gambar: relasi menghubungkan anggota dari satu himpunan ke himpunan lain.

Dalam matematika, hubungan seperti ini tidak hanya ditulis dengan kalimat. Kita dapat menyajikannya dengan diagram panah, himpunan pasangan berurutan, tabel, dan grafik.

Gambar: satu anggota himpunan dapat terhubung ke satu atau lebih anggota himpunan lain.

Bab ini akan membahas:

• pengertian himpunan, relasi, dan fungsi;
• perbedaan relasi biasa dan fungsi;
• domain, kodomain, dan range;
• penyajian relasi dan fungsi dengan pasangan berurutan, diagram panah, tabel, dan grafik;
• cara menentukan nilai fungsi;
• cara membaca dan menggambar grafik fungsi sederhana;
• penyelesaian masalah kontekstual yang melibatkan relasi dan fungsi.

Gunakan tab Teori untuk memahami konsep, tab Soal untuk latihan, dan tab Jawaban untuk mengecek pembahasan.

Relasi dan Fungsi

1. Himpunan dan Relasi

Himpunan adalah kumpulan objek yang dapat ditentukan anggotanya dengan jelas. Contoh:

Relasi dari himpunan $A$ ke himpunan $B$ adalah aturan atau hubungan yang memasangkan anggota $A$ dengan anggota $B$.

Contoh relasi:

• "setengah dari";
• "lebih kecil dari";
• "memilih kegiatan";
• "memiliki harga";
• "dipetakan menjadi dua kali bilangan asal".

Relasi dapat menghubungkan satu anggota ke satu anggota, satu anggota ke beberapa anggota, atau bahkan ada anggota yang tidak punya pasangan.

2. Fungsi sebagai Relasi Khusus

Fungsi adalah relasi khusus dari himpunan $A$ ke himpunan $B$ dengan syarat:

Setiap anggota domain dipasangkan dengan tepat satu anggota kodomain.

Artinya, setiap anggota di himpunan asal harus punya satu pasangan saja. Tidak boleh ada anggota domain yang punya dua pasangan berbeda.

Gambar: fungsi adalah relasi yang memasangkan setiap anggota domain tepat satu kali.

Perhatikan perbedaan berikut:

Situasi	Fungsi?	Alasan
Setiap siswa memiliki satu nomor absen	Ya	setiap siswa tepat satu nomor
Satu siswa memilih beberapa ekstrakurikuler	Tidak selalu	satu siswa dapat punya lebih dari satu pasangan
Setiap bilangan dipetakan ke hasil kali dua	Ya	setiap bilangan punya satu hasil
Satu barang memiliki beberapa harga berbeda di toko yang sama	Tidak	satu barang punya lebih dari satu pasangan harga

3. Domain, Kodomain, dan Range

Pada fungsi atau relasi dari himpunan $A$ ke himpunan $B$:

• domain adalah himpunan asal;
• kodomain adalah himpunan tujuan;
• range adalah anggota kodomain yang benar-benar mendapat pasangan.

Gambar: range adalah bagian dari kodomain yang benar-benar terkena panah.

Contoh:

Jika aturan fungsinya adalah "dikali dua", maka:

Domainnya adalah:

Kodomainnya adalah:

Range-nya adalah:

Angka $10$ ada di kodomain, tetapi bukan range karena tidak mendapat pasangan.

4. Cara Menyajikan Relasi dan Fungsi

Relasi dan fungsi dapat disajikan dalam beberapa bentuk. Bentuk yang umum digunakan adalah:

1. diagram panah;
2. himpunan pasangan berurutan;
3. tabel;
4. grafik pada bidang koordinat.

Gambar: satu fungsi dapat disajikan dengan pasangan berurutan, diagram panah, tabel, dan grafik.

Misalkan:

Untuk $x = 1,2,3$, diperoleh:

Pasangan berurutannya adalah:

Tabelnya:

$x$	$f(x)$
1	3
2	5
3	7

Titik-titik grafiknya adalah $(1,3)$, $(2,5)$, dan $(3,7)$.

5. Nilai Fungsi

Nilai fungsi adalah hasil yang diperoleh setelah nilai $x$ dimasukkan ke aturan fungsi.

Contoh:

Jika $x = 3$, maka:

Jadi, nilai fungsi untuk $x = 3$ adalah $7$.

Gambar: nilai fungsi dapat dihitung, ditulis dalam tabel, lalu digambar sebagai titik pada grafik.

6. Membaca Grafik Fungsi

Grafik fungsi menunjukkan hubungan antara nilai masukan $x$ dan nilai keluaran $y$ atau $f(x)$.

Untuk membaca grafik:

1. pilih nilai $x$ pada sumbu mendatar;
2. cari titik pada grafik yang sesuai;
3. baca nilai $y$ pada sumbu tegak;
4. tulis pasangan berurutannya sebagai $(x,y)$.

Jika grafik melalui titik $(3,7)$, artinya saat $x = 3$, nilai fungsi adalah $7$.

7. Miskonsepsi yang Sering Terjadi

Beberapa kekeliruan yang perlu dihindari:

• Mengira semua relasi pasti fungsi. Padahal fungsi harus memenuhi syarat "tepat satu pasangan untuk setiap anggota domain".
• Mengira kodomain selalu sama dengan range. Padahal range hanya anggota kodomain yang benar-benar mendapat pasangan.
• Mengabaikan anggota domain yang tidak punya pasangan. Jika ada anggota domain yang tidak punya pasangan, relasi itu bukan fungsi dari domain tersebut.
• Membaca grafik hanya dari bentuk garisnya, tetapi lupa membaca pasangan titik $(x,y)$.

8. Ringkasan

• Relasi adalah hubungan antara anggota dua himpunan.
• Fungsi adalah relasi khusus.
• Domain adalah himpunan asal.
• Kodomain adalah himpunan tujuan.
• Range adalah hasil yang benar-benar muncul.
• Fungsi dapat disajikan dengan diagram panah, pasangan berurutan, tabel, dan grafik.
• Nilai fungsi diperoleh dengan mengganti $x$ sesuai nilai yang diberikan.