Statistika

Ukuran pemusatan (mean/median/modus) dan penyebaran (jangkauan/kuartil/simpangan kuartil) data, plus dampak perubahan data terhadap pengukuran pusat.

Tujuan Pembelajaran (6)

M-D.15Menggunakan mean, median, modus, dan range untuk menyelesaikan masalah; dan menginvestigasi dampak perubahan data terhadap pengukuran pusat.
M-D.15.1Menetapkan ukuran pemusatan suatu kumpulan data: modus, median, beserta mean.
M-D.15.2Menetapkan ukuran sebaran data berupa jangkauan, kuartil, beserta simpangan kuartilnya.
M-D.15.3Memecahkan persoalan keseharian yang menyangkut ukuran pemusatan.
M-D.15.4Memecahkan persoalan keseharian yang menyangkut ukuran penyebaran.
M-D.15.5Mengkaji dampak perubahan data terhadap pengukuran pemusatannya.

Statistika

Data ada di banyak keputusan sehari-hari: koperasi sekolah melihat barang yang paling laku, kelas membandingkan hasil ulangan, dan panitia olahraga membaca tinggi badan peserta agar pembagian kelompok adil. Statistika membantu kita mengubah daftar angka yang panjang menjadi informasi yang mudah dipahami.

Ilustrasi data menjadi keputusan

Pada bab ini, kamu akan mempelajari ukuran yang meringkas data. Ukuran pemusatan membantu melihat nilai yang mewakili kumpulan data, sedangkan ukuran penyebaran membantu melihat seberapa jauh data tersebar dari pusatnya.

Kamu akan berlatih:

menentukan modus, median, dan rata-rata dari data tunggal maupun data berfrekuensi;
membaca data dari tabel, diagram batang, dan diagram garis;
menentukan jangkauan, kuartil, jangkauan kuartil, dan simpangan kuartil;
membandingkan dua kelompok data dengan ukuran pemusatan dan penyebaran;
menyelidiki perubahan rata-rata, median, atau modus ketika ada data baru atau data ekstrem.

Pertanyaan utama bab ini: ukuran apa yang paling tepat untuk mewakili data, dan kapan ukuran itu perlu dibandingkan dengan ukuran lain?

Teori Statistika

1. Apa yang Dipelajari dalam Statistika?

Statistika adalah cara mengumpulkan, menyusun, menyajikan, menganalisis, dan menafsirkan data. Pada kelas sebelumnya kamu sudah mengenal tabel, diagram batang, diagram garis, dan diagram lingkaran. Di kelas VIII, fokusnya adalah mengukur pemusatan data dan penyebaran data.

Peta konsep statistika

Pemusatan data menjawab pertanyaan, "Nilai apa yang dapat mewakili data ini?" Contohnya modus, median, dan rata-rata. Penyebaran data menjawab pertanyaan, "Seberapa jauh data ini menyebar?" Contohnya jangkauan, kuartil, jangkauan kuartil, dan simpangan kuartil.

2. Dari Data Mentah ke Informasi

Data mentah sering belum mudah dibaca. Misalnya data nilai kuis:

$6, 8, 7, 8, 9, 7, 8, 10, 7, 8$

Langkah yang dapat dilakukan:

Urutkan data dari yang terkecil ke terbesar.
Buat tabel frekuensi jika ada nilai yang berulang.
Sajikan dalam diagram jika perlu.
Hitung ukuran pemusatan dan penyebaran.

Alur mengolah data

Untuk data nilai kuis di atas, data terurutnya adalah:

$6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 10$

Tabel frekuensinya:

Nilai	Frekuensi
6	1
7	3
8	4
9	1
10	1

3. Modus

Modus adalah nilai yang paling sering muncul.

Pada data:

$6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 10$

Nilai $8$ muncul $4$ kali, lebih sering daripada nilai lain. Jadi modusnya adalah $8$ .

Catatan penting:

Sebuah data dapat memiliki satu modus.
Sebuah data dapat memiliki lebih dari satu modus.
Sebuah data juga dapat tidak memiliki modus jika semua nilai muncul sama banyak.

4. Median

Median adalah nilai tengah setelah data diurutkan.

Jika banyak data ganjil, median adalah data tepat di tengah.

Contoh:

$5, 6, 7, 8, 10$

Ada $5$ data, sehingga median adalah data ke- $3$ , yaitu $7$ .

Jika banyak data genap, median adalah rata-rata dari dua data di tengah.

Contoh:

$5, 6, 7, 8, 10, 12$

Dua data di tengah adalah $7$ dan $8$ , sehingga:

\text{median} = \frac{7 + 8}{2} = 7{,}5

Modus, median, dan rata-rata

Median sering berguna ketika ada data ekstrem, karena median tidak mudah tertarik oleh satu nilai yang terlalu besar atau terlalu kecil.

5. Rata-rata

Rata-rata atau mean diperoleh dengan menjumlahkan semua nilai data, lalu membaginya dengan banyak data.

\bar{x} = \frac{\text{jumlah semua data}}{\text{banyak data}}

Contoh:

$6, 7, 7, 8, 10$

\bar{x} = \frac{6 + 7 + 7 + 8 + 10}{5} = \frac{38}{5} = 7{,}6

Untuk data yang memiliki frekuensi, rata-rata dapat dihitung dengan:

\bar{x} = \frac{f_1x_1 + f_2x_2 + \cdots + f_kx_k}{f_1 + f_2 + \cdots + f_k}

Contoh:

Nilai $(x)$	Frekuensi $(f)$	$f \times x$
6	1	6
7	3	21
8	4	32
9	1	9
10	1	10

Jumlah frekuensi adalah:

1 + 3 + 4 + 1 + 1 = 10

Jumlah hasil kali $f \times x$ adalah:

6 + 21 + 32 + 9 + 10 = 78

Jadi:

\bar{x} = \frac{78}{10} = 7{,}8

Rata-rata dari tabel frekuensi

6. Data Ekstrem dan Pemilihan Ukuran Pemusatan

Data ekstrem adalah nilai yang jauh berbeda dari sebagian besar data. Data ekstrem dapat memengaruhi rata-rata dengan kuat.

Contoh data A:

$70, 72, 73, 75, 76$

Rata-rata data A:

\bar{x} = \frac{70 + 72 + 73 + 75 + 76}{5} = \frac{366}{5} = 73{,}2

Jika muncul data ekstrem $100$ , data B menjadi:

$70, 72, 73, 75, 76, 100$

Rata-rata data B:

\bar{x} = \frac{70 + 72 + 73 + 75 + 76 + 100}{6} = \frac{466}{6} \approx 77{,}7

Rata-rata naik cukup besar karena satu nilai ekstrem. Karena itu, saat menafsirkan data, jangan hanya melihat satu ukuran. Bandingkan rata-rata dengan median, modus, dan penyebarannya.

Pengaruh data ekstrem

7. Jangkauan

Jangkauan adalah selisih antara data terbesar dan data terkecil.

\text{jangkauan} = \text{data terbesar} - \text{data terkecil}

Contoh:

$154\ \text{cm}, 156\ \text{cm}, 158\ \text{cm}, 160\ \text{cm}, 168\ \text{cm}$

Data terbesar adalah $168\ \text{cm}$ dan data terkecil adalah $154\ \text{cm}$ .

\text{jangkauan} = 168\ \text{cm} - 154\ \text{cm} = 14\ \text{cm}

Jangkauan mudah dihitung, tetapi hanya memperhatikan dua nilai, yaitu nilai terbesar dan terkecil.

8. Kuartil

Kuartil membagi data terurut menjadi empat bagian yang sama banyak.

$Q_1$ disebut kuartil bawah.
$Q_2$ disebut kuartil tengah atau median.
$Q_3$ disebut kuartil atas.

Contoh data terurut:

$60, 64, 66, 70, 74, 76, 78, 80, 84$

Median atau $Q_2$ adalah $74$ . Bagian bawah adalah $60, 64, 66, 70$ , sehingga:

Q_1 = \frac{64 + 66}{2} = 65

Bagian atas adalah $76, 78, 80, 84$ , sehingga:

Q_3 = \frac{78 + 80}{2} = 79

Kuartil pada garis bilangan

9. Jangkauan Kuartil dan Simpangan Kuartil

Jangkauan kuartil adalah selisih kuartil atas dan kuartil bawah.

\text{jangkauan kuartil} = Q_3 - Q_1

Simpangan kuartil adalah setengah dari jangkauan kuartil.

\text{simpangan kuartil} = \frac{1}{2}(Q_3 - Q_1)

Pada contoh sebelumnya, $Q_1 = 65$ dan $Q_3 = 79$ .

\text{jangkauan kuartil} = 79 - 65 = 14

\text{simpangan kuartil} = \frac{1}{2} \times 14 = 7

Ukuran ini membantu melihat sebaran bagian tengah data. Karena tidak memakai nilai paling kecil dan paling besar, jangkauan kuartil lebih tahan terhadap data ekstrem dibandingkan jangkauan biasa.

10. Membandingkan Dua Kelompok Data

Saat membandingkan dua kelompok, gunakan lebih dari satu ukuran.

Contoh:

Kelompok A: $60, 70, 70, 80, 90$
Kelompok B: $65, 68, 70, 72, 75$

Kedua kelompok memiliki median $70$ . Namun penyebarannya berbeda.

Kelompok A:

\text{jangkauan} = 90 - 60 = 30

Kelompok B:

\text{jangkauan} = 75 - 65 = 10

Artinya, kelompok A lebih menyebar, sedangkan kelompok B lebih rapat di sekitar pusat data.

Membandingkan dua kelompok data

Ringkasan

Modus: nilai yang paling sering muncul. Berguna untuk melihat pilihan atau kategori yang dominan.
Median: nilai tengah setelah data diurutkan. Berguna untuk mewakili data yang memiliki nilai ekstrem.
Rata-rata: jumlah semua data dibagi banyak data. Berguna untuk melihat titik keseimbangan data.
Jangkauan: data terbesar dikurangi data terkecil. Berguna untuk melihat rentang keseluruhan data.
Kuartil: pembagi data menjadi empat bagian. Berguna untuk melihat posisi seperempat, tengah, dan tiga perempat data.
Jangkauan kuartil: $Q_3 - Q_1$ . Berguna untuk melihat sebaran bagian tengah data.
Simpangan kuartil: $\frac{1}{2}(Q_3 - Q_1)$ . Berguna untuk mengukur setengah sebaran tengah data.