Teorema Pythagoras

Teorema Pythagoras

Teorema Pythagoras menjelaskan hubungan panjang sisi-sisi pada segitiga siku-siku. Jika dua sisi yang membentuk sudut siku-siku panjangnya $a$ dan $b$, lalu sisi miringnya $c$, maka:

Gambar: luas persegi pada sisi miring sama dengan gabungan luas persegi pada dua sisi siku-siku.

Bab ini penting karena banyak masalah nyata dapat diubah menjadi segitiga siku-siku: tinggi tangga, diagonal layar, jarak terpendek, lintasan miring, sampai jarak dua titik pada bidang koordinat.

Dalam bab ini kamu akan belajar:

• memahami makna $a^2 + b^2 = c^2$ lewat luas persegi;
• mencari panjang sisi miring atau salah satu sisi siku-siku;
• mengenali segitiga siku-siku istimewa $45^\circ$-$45^\circ$-$90^\circ$ dan $30^\circ$-$60^\circ$-$90^\circ$;
• menemukan dan memakai tripel Pythagoras seperti $3,4,5$ dan $5,12,13$;
• memakai kebalikan teorema Pythagoras untuk mengecek apakah segitiga siku-siku;
• menyelesaikan masalah sehari-hari;
• memakai Pythagoras untuk menghitung jarak dua titik pada koordinat Kartesius sebagai pengayaan.

Gunakan tab Teori untuk memahami konsep, tab Soal untuk latihan, dan tab Jawaban untuk mengecek pembahasan langkah demi langkah.

Teori - Teorema Pythagoras

1. Segitiga Siku-Siku dan Sisi Miring

Teorema Pythagoras hanya berlaku langsung pada segitiga siku-siku, yaitu segitiga yang memiliki satu sudut $90^\circ$.

Pada segitiga siku-siku:

• dua sisi yang membentuk sudut siku-siku disebut sisi siku-siku;
• sisi yang berhadapan dengan sudut siku-siku disebut sisi miring atau hipotenusa;
• sisi miring selalu menjadi sisi terpanjang.

Jika sisi siku-siku adalah $a$ dan $b$, serta sisi miring adalah $c$, maka:

2. Mengapa Rumus Itu Benar?

Makna geometrisnya sederhana: buat persegi pada setiap sisi segitiga siku-siku. Luas persegi pada sisi miring sama dengan jumlah luas dua persegi pada sisi siku-siku.

Gambar: teorema Pythagoras dapat dibaca sebagai hubungan luas, bukan sekadar rumus.

Karena luas persegi dengan sisi $s$ adalah $s^2$, maka:

atau:

3. Mencari Panjang Sisi Miring

Jika yang dicari adalah sisi miring, jumlahkan kuadrat dua sisi siku-siku.

Contoh: sebuah segitiga siku-siku memiliki sisi siku-siku $6$ cm dan $8$ cm. Panjang sisi miringnya:

Jadi, sisi miringnya $10$ cm.

4. Mencari Salah Satu Sisi Siku-Siku

Jika sisi miring dan satu sisi siku-siku diketahui, gunakan pengurangan.

Misalnya sisi miring $c = 13$ cm dan salah satu sisi siku-siku $a = 5$ cm. Sisi lainnya $b$:

Jadi, sisi siku-siku lainnya $12$ cm.

5. Segitiga Siku-Siku Istimewa

Beberapa segitiga siku-siku punya perbandingan sisi yang sering muncul.

Segitiga $45^\circ$-$45^\circ$-$90^\circ$

Segitiga ini memiliki dua sisi siku-siku sama panjang. Jika masing-masing sisi siku-siku $s$, maka sisi miringnya:

Perbandingan sisinya:

Segitiga $30^\circ$-$60^\circ$-$90^\circ$

Jika sisi terpendek adalah $s$, maka:

• sisi di depan sudut $30^\circ$ adalah $s$;
• sisi di depan sudut $60^\circ$ adalah $s\sqrt{3}$;
• sisi miring adalah $2s$.

Perbandingan sisinya:

6. Tripel Pythagoras dan Kebalikannya

Tripel Pythagoras adalah tiga bilangan bulat positif yang memenuhi:

Contoh:

• $3,4,5$ karena $3^2 + 4^2 = 5^2$;
• $5,12,13$ karena $5^2 + 12^2 = 13^2$;
• $8,15,17$ karena $8^2 + 15^2 = 17^2$;
• $7,24,25$ karena $7^2 + 24^2 = 25^2$.

Kebalikan teorema Pythagoras juga penting:

Jika tiga panjang sisi $a$, $b$, dan $c$ dengan $c$ sisi terpanjang memenuhi $a^2 + b^2 = c^2$, maka segitiga tersebut adalah segitiga siku-siku.

Contoh: apakah sisi $9$, $12$, dan $15$ membentuk segitiga siku-siku?

Karena hasilnya sama, segitiga itu siku-siku.

7. Penerapan dalam Kehidupan Sehari-Hari

Teorema Pythagoras sering dipakai untuk mencari jarak miring atau diagonal.

Contoh: sebuah tangga bersandar pada tembok. Kaki tangga berjarak $1{,}5$ m dari tembok, dan ujung tangga mencapai ketinggian $2$ m. Panjang tangga:

Jadi, panjang tangga $2{,}5$ m.

8. Pengayaan: Jarak Dua Titik di Koordinat Kartesius

Jarak dua titik dapat dihitung dengan membuat segitiga siku-siku dari selisih koordinat $x$ dan selisih koordinat $y$.

Jika titik $A(x_1,y_1)$ dan $B(x_2,y_2)$, maka:

Contoh: jarak antara $A(1,2)$ dan $B(7,10)$.

Selisih $x$:

Selisih $y$:

Jarak:

Ringkasan

• Teorema Pythagoras berlaku pada segitiga siku-siku.
• Rumusnya $a^2 + b^2 = c^2$, dengan $c$ sebagai sisi miring.
• Untuk mencari sisi miring, jumlahkan kuadrat dua sisi siku-siku.
• Untuk mencari sisi siku-siku, kurangkan kuadrat sisi miring dengan kuadrat sisi yang diketahui.
• Tripel Pythagoras adalah tiga bilangan bulat yang memenuhi teorema ini.
• Kebalikannya dapat dipakai untuk mengecek apakah segitiga siku-siku.
• Jarak dua titik di koordinat dapat dihitung dengan Pythagoras.