Memahami Turunan: dari Garis Sekan ke Garis Singgung

23 September 20264 menit baca

Bagian dari kurikulum

Turunan FungsiMatematika Tingkat Lanjut · SMA Kelas XII

Grafik fungsi kuadrat dengan garis sekan jingga, garis singgung hijau, dan kontrol langkah h

Speedometer menunjukkan kecepatan saat ini. Padahal, perhitungan jarak dibagi waktu biasanya memberi kecepatan rata-rata selama suatu selang. Bagaimana kita beralih dari rata-rata menuju nilai pada satu saat? Dua titik pada kurva membantu menjawabnya.

Video berikut memadukan percobaan pada simulasi dengan layar hitungan dan rumus. Istilah sekan dan singgung dijelaskan sejak awal. Narasi menggunakan suara Siti dari Gemini TTS.

Mengenali dua garis

Pada fungsi kuadrat, titik P berada di posisi yang kita pilih. Titik Q berada sejauh h secara mendatar dari P. Garis jingga yang melalui P dan Q disebut garis sekan. Kemiringannya menggambarkan perubahan rata-rata antara kedua titik.

Garis hijau putus-putus adalah garis singgung: garis yang menunjukkan arah dan kemiringan kurva tepat di P, ketika turunan di titik tersebut ada. Jangan menghafalnya sebagai garis yang hanya bertemu kurva satu kali; itu bukan definisi yang berlaku untuk semua kurva.

Sekan jingga melalui P dan Q; singgung hijau menunjukkan kemiringan di P.

Percobaan pertama: dari gradien 3 menuju 2

Buka simulasi dan gunakan fungsi kuadrat dengan P pada x = 1 dan langkah h = 1. Titik P bernilai (1, 1), sedangkan Q bernilai (2, 4). Gradien sekan adalah:

m_{\text{sekan}}=\frac{4-1}{2-1}=3

Untuk langkah h yang belum nol, bentuk umumnya dapat disederhanakan menjadi:

\begin{aligned}m_{\text{sekan}}&=\frac{(1+h)^2-1}{h}\\&=\frac{2h+h^2}{h}\\&=2+h\end{aligned}

Klik Dekatkan Q (½ h). Langkah menjadi 0,5 dan gradien menjadi 2,5.
Klik tiga kali lagi. Langkah menjadi 0,0625 dan gradien menjadi 2,0625.
Klik Dari kiri. Langkah menjadi −0,0625 dan gradien menjadi 1,9375.
Gunakan Catat hasil untuk menyimpan perbandingan. Perhatikan angka, karena dua garis bisa tampak berhimpit pada layar.

Ketika h = 0,0625, gradien sekan 2,0625 mendekati turunan eksak 2.

Dari kanan, gradien mendekati 2 dari atas. Dari kiri, gradien mendekati 2 dari bawah. Keduanya menuju nilai yang sama. Itulah turunan fungsi kuadrat di x = 1:

\begin{aligned}f'(1)&=\lim_{h\to0}\frac{(1+h)^2-1}{h}\\&=\lim_{h\to0}(2+h)\\&=2\end{aligned}

Limit tidak berarti memasukkan h = 0 langsung ke pecahan awal. Pembagian dengan nol tidak terdefinisi. Simulasi juga menggunakan langkah kecil yang tetap bukan nol; nilai turunan eksak ditampilkan terpisah dari pendekatan sekan.

Hubungannya dengan kecepatan

Pada pilihan Fungsi atau konteks, pilih konteks Gerak. Model posisi adalah $s(t)=t^2$ , dengan posisi dalam meter dan waktu dalam sekon. Dari t = 1 ke t = 2, kecepatan rata-rata adalah:

v_{\text{rata-rata}}=\frac{s(2)-s(1)}{2-1}=3\ \text{m/s}

Kecepatan sesaat pada t = 1 adalah $s'(1)=2\ \text{m/s}$ . Dua angka ini menjawab pertanyaan berbeda: perubahan selama selang waktu dan perubahan tepat pada satu saat. Model ini merupakan contoh matematis sederhana, bukan rekaman kendaraan nyata.

Grafik tersambung belum tentu memiliki turunan

Pilih fungsi nilai mutlak. Titik P otomatis berada di x = 0, pada sudut grafik $f(x)=|x|$ . Dari kanan, gradien sekannya +1. Klik Dari kiri: gradien menjadi −1. Mengecilkan langkah tidak membuat kedua hasil menuju nilai yang sama.

Jadi, turunan dua sisi di x = 0 tidak ada. Titik sudut ini membantu kita melihat mengapa pendekatan dari satu sisi saja belum cukup.

Yang sering tertukar	Cara membedakannya
Sekan dan singgung	Sekan melalui dua titik; singgung menunjukkan kemiringan di satu titik ketika turunannya ada.
Garis terlihat berhimpit berarti nilainya sama persis	Periksa angka gradien; tampilan memiliki keterbatasan resolusi.
Limit berarti h langsung dibuat nol	h mendekati nol; pecahan awal tetap membutuhkan h bukan nol.
Grafik tersambung pasti memiliki turunan	Fungsi nilai mutlak di nol merupakan contoh penyangkalnya.
Kecepatan rata-rata sama dengan kecepatan sesaat	Yang pertama memakai selang waktu, yang kedua memakai turunan pada satu saat.

Kaitan dengan Kurikulum Merdeka

Artikel ini mendampingi Matematika Tingkat Lanjut, SMA kelas XII, Fase F, bab Turunan Fungsi. Capaian Pembelajaran elemen Kalkulus mencakup laju perubahan rata-rata dan sesaat, pemaknaan turunan secara geometris maupun aljabar, gradien garis singgung, serta kecepatan sesaat.

Pemetaan utama adalah TP K6: menjelaskan konsep turunan fungsi. Percobaan dan perhitungan kuadrat menjadi jembatan menuju penggunaan aturan turunan, tetapi artikel ini tidak mencakup seluruh formula turunan trigonometri, aturan komposisi, ataupun optimasi pada bab yang sama.

Rujukan pemetaan: CP Matematika Tingkat Lanjut Fase F dan buku siswa Matematika Tingkat Lanjut SMA/MA Kelas XII, Bab 3 Turunan Fungsi. Pemetaan dicocokkan dengan sumber CP dan metadata bab dalam perpustakaan kurikulum Simu.

Ide kegiatan kelas

Sebelum menjalankan percobaan, minta siswa memprediksi gradien ketika h diperkecil. Kelompok pertama mencoba dari kanan, kelompok kedua dari kiri, lalu keduanya membandingkan hasil dengan Catat hasil.

Untuk tugas lanjutan, pindahkan P pada fungsi kuadrat ke x = 2. Minta siswa menentukan gradien singgung melalui percobaan, membuktikannya dengan aljabar, lalu menjelaskan perbedaan hasilnya dengan kasus x = 1. Akhiri dengan fungsi nilai mutlak: mengapa cara yang berhasil pada kuadrat tidak menghasilkan satu nilai turunan di titik sudut?

Coba simulasi Turunan: dari Garis Sekan ke Garis Singgung.